Система нормальных уравнений для нахождения параметров a0, a1 имеет вид:
После преобразования системы получим:
Решением системы являются значения параметров:
а0 = 1332,36; a1 = 0,67.
Уравнение регрессии:
Коэффициент детерминации:
Рис.2.2. Графическое представление уравнения регрессии
Таким образом, судя по регрессионному коэффициенту а1=0,67, можно утверждать, что с увеличением инвестиций на 1 млрд. рублей объем отгруженной инновационной продукции в рублях увеличивается в среднем на 670 млн. рублей в год. Для удобства интерпретации параметра а1 используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле, %:
В рассматриваемом примере
Следовательно с возрастанием инвестиций на 1% следует ожидать повышения объема инновационной продукции на 0,19%.Коэффициент регрессии а0=1332,36 учитывает влияние факторов, неучтенных в модели. В нашем случае влияние неучтенных факторов достаточно велико.
Коэффициент детерминации
показывает, что 4,6% вариации признака «объем отгруженной инновационной продукции» обусловлено вариацией признака «объем инвестиций», а остальные 95,4% вариации связаны с воздействием неучтенных факторов: уровень развития производства на период начала инвестиций, кадровый потенциал, целевое использование средств и другие.4.2 Проверка значимости параметров регрессии.
Для того, чтобы оценить на сколько параметры а1, а0 отображают исследуемый процесс и не являются ли эти значения результатом случайных величин, рассчитаем средние ошибки и t-критерии Стьюдента.
По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем tкр при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν = 8. tкр = 2,306. Так как tа0расч >tкр (7,13 > 2,306), то параметр а0 считается значимым. Так как tа1расч <tкр (0,62 < 2,36), то параметр а1 не считается значимым.
4.3. Проверка значимости уравнения регрессии в целом.
По таблице критических значений критерия Фишера найдем Fкр=5,32 (при α=0,05, ν1=k=1, ν2=n-k-1=8). Так как Fрасч<Fкр (0,386 < 5,32), то для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1=1, ν2=8 построенное уравнение регрессии нельзя считать значимым.
5. Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ
Проведем многофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Представим данные в табличной форме (табл. 2.10).
Таблица 2.10 Исходная информация для КРА
Годы | Объем инвестиций, млн. руб. | Число инновационно-активных предприятий, шт. | Объем отгруженной инновационной продукции, млн. руб. |
2000 | 205,6 | 32 | 784,8 |
2001 | 687,4 | 34 | 1384,0 |
2002 | 662,1 | 32 | 1016,4 |
2003 | 638,2 | 36 | 1548,2 |
2004 | 273,3 | 33 | 1555,7 |
2005 | 278,6 | 31 | 1630,2 |
2006 | 361,2 | 34 | 1676,0 |
2007 | 398,1 | 36 | 1900,1 |
2008 | 431,6 | 38 | 2032,4 |
2009 | 620,2 | 44 | 2864,8 |
Введем обозначения: x1i – объем инвестиций,x2i – число инновационно-активных предприятий, yi– объем отгруженной инновационной продукции.
Считая зависимость между этими показателями линейной, определим уравнение связи, вычислим множественные и частные коэффициенты корреляции и оценим значимость модели.
Промежуточные расчеты представлены в таблице 2.11.
Таблица 2.11 Промежуточные расчеты для определения параметров регресси
Годы | x1i | x2i | yi | x2 | x2 | y2 | x1i y | x2i y | x1i x2i |
2000 | 205,6 | 32 | 784,8 | 42271,36 | 1024 | 615911 | 161354 | 25113 | 6579 |
2001 | 687,4 | 34 | 1384,0 | 472518,7 | 1156 | 1915456 | 951361 | 47056 | 23371 |
2002 | 662,1 | 32 | 1016,4 | 438376,4 | 1024 | 1033069 | 672958 | 32524 | 21187 |
2003 | 638,2 | 36 | 1548,2 | 407299,2 | 1296 | 2396923 | 988061 | 55735 | 22975 |
2004 | 273,3 | 33 | 1555,7 | 74692,89 | 1089 | 2420202 | 425172 | 51338 | 9018 |
2005 | 278,6 | 31 | 1630,2 | 77617,96 | 961 | 2657552 | 454173 | 50536 | 8636 |
2006 | 361,2 | 34 | 1676,0 | 130465,4 | 1156 | 2808976 | 605371 | 56984 | 12280 |
2007 | 398,1 | 36 | 1900,1 | 158483,6 | 1296 | 3610380 | 756429 | 68403 | 14331,6 |
2008 | 431,6 | 38 | 2032,4 | 186278,5 | 1444 | 4130650 | 877183 | 77231 | 16400 |
2009 | 620,2 | 44 | 2864,8 | 384648,0 | 1936 | 8207079 | 1776749 | 126051 | 27288 |
∑ | 4556 | 350 | 16392,6 | 2372652 | 12382 | 29796199 | 7668817 | 590973 | 162070 |
Парные коэффициенты корреляции:
Частные коэффициенты корреляции:
Коэффициент множественной корреляции:
Совокупный коэффициент множественной детерминации:
.Он показывает, что вариация объема инновационного продукта на 79,2 % обусловливается двумя анализируемыми факторами.Система нормальных уравнений имеет вид:
Решением системы являются значения параметров:
а0 = 1332,36; a1 = 0,67.
Уравнение регрессии:
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:
По таблице критических значений критерия Фишера найдем Fкр=5,32 (при α=0,05, ν1=m-1=1, ν2=n-m=8). Так как Fрасч>Fкр (39,6 > 5,32), то для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1=1, ν2=8 построенное уравнение регрессии можно считать значимым.
3.Вычисление индексов и их использование в экономико-статистических исследованиях
Произведем вычисление индексов на основе данных о выпуске инновационных товаров научным центром «Вектор». Из последнего выделилась масса коммерческих предприятий. Успешными предприятиями, работающими на новосибирском и общероссийском рынках, являются «Вектор-Бест» (производство диагностических наборов), «Вектор-БиАльгам» (производство диагностических наборов, вакцины против гепатита А, кисломолочных продуктов для лечебно-профилактического питания), «Вектор-Медика» (производство лекарственных препаратов) (Конт-Сибирь).
Таблица 3.1 Исходные данные о выпуске инновационных товаров научным центром«Вектор»
Товар | Выпуск продукции, тыс. шт. | Цена единицы продукции, руб. | ||
2002г. | 2003 г. | 2002г. | 2003 г. | |
Диагностический набор | 23 | 31 | 5300 | 5500 |
Лекарственные препараты | 897 | 1367 | 130 | 145 |
Индивидуальные индексы физического объема
iqA = 31/23=134,8% (рост на 34,8%)
iqБ =1367/897=152,4% (рост на 52,4%)
Индивидуальные индексы цен
ipA=5500/5300=103,8% (рост на 3,8%)
ipБ=145/130=111,5% (рост на 11,5%)
Индивидуальные индексы товарооборота
ipq А = (31*5500)/(23*5300)=139,9% (рост на 39,9%)
ipq Б = (1367*145)/(897*130)=170% (рост на 70%)
Изменение по предприятию в целом (по двум товарам) индивидуальным индексом оценить нельзя, т.к. совокупность неоднородная. Поэтому воспользуемся сводным индексом.
Сводный индекс общего товарооборота
Объем общего товарооборота вырос на 55%. В абсолютном выражении изменение товарооборота составляет:
=368715-238510= 130205 тыс.руб.