Розробка програмного забезпечення вирішення задачі формування портфеля цінних паперів (стр. 8 из 16)

Рисунок 2.2– Фазовий простір (r, r * )

Взаємні співвідношення параметрів r*_1,2 и r_1,2дають наступний розрахунок для площі заштрихованої плоскої фігури.

(2.15)

Оскільки всі реалізації

при заданому рівні приналежності рівноможливі, то міра ризику, неефективності є геометрична вірогідність події попадання точки у зону неефективного розподілу капіталу

(2.16)

де

 - оцінюється по формулі (2.15).

Тоді підсумкове значення міри ризику неефективності портфеля

(2.17)

Коли критерій ефективності визначений чітко рівнем

,то граничний перехід ; дає

(2.18)

Для того, щоб зібрати всі необхідні вихідні дані для оцінки ризику, потрібно два значення зворотної функції

Перше значення r* (за визначенням верхньої границі зони ризику 1), друге значення позначимо . Аналогічним чином позначимо r_min та r_max— два значення зворотної функції .Також введемо позначення —найбільш очікуване значення r. Тоді вираз для міри ризику портфеля , з урахуванням (2.16 та 2.17) має вигляд

(2. 19)

(2.20)

Рисунок 2.3 –Приклад чіткого рівня критерію ефективності

(2.21)

Таким чином, міра ризику набуває значень від 0 до 1.Для того, щоб визначити структуру портфеля, який забезпечить максимальну прибутковість при заданому рівні ризику, потрібно вирішити наступне завдання [28]:

(2.22)

інвестування фондовий математичний програмний

Де

і визначаються з формул (2.19)-(2.21), компоненти вектора задовольняють (2.19) . Вираз (2.21) можна записати в наступному вигляді:

(2.23)

Прибутковість портфеля:

де

— прибутковість i-го цінного паперу. Отримуємо наступну задачу оптимізації (2.24) —(2.26):

(2.24)

(2.25)

(2.26)

При варіюванні рівня ризику

можливі 3 випадки. Розглянемо детально кожен з них [29].Перший випадок, =0. У (2.19) видно, що цей випадок можливий якщо Отримуємо наступну задачу лінійного програмування (2.27) —(2.29):

(2.27)

(2.28)

(2.29)

Знайдений в результаті рішення задачі (2.27) —(2.29) вектор

, є шукана структура оптимального для даного рівня ризику портфеля.

Другий випадок,

=1. З (2.19)витікає, що цей можливо коли

Отримуємо наступну задачу лінійного програмування:

(2.30)

(2.31)

(2.32)

Знайдений в результаті рішення задачі (2.30) —(2.32) вектор

, є шукана структура оптимального для даного рівня ризику портфеля.

Третій випадок 1<

<0. З (2.19) видно, що цей випадок можливий коли або коли

Для виразу

, використовуючи (2.19) -(2.21) задачі (2.24) -(2.26) зводяться до наступної задачі нелінійного програмування:

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

Аналогічні вирази у випадку

.

Для вирішення задачі (2.33) — (2.37) застосований метод штрафних функцій, який описано нижче [30].

2.2 Алгоритм розв’язання задачі формування портфеля цінних паперів

2.2.1 Алгоритм метода штрафних функцій

Розглянувши вищевказані методи розв’язання задач умовної оптимізації було обрано метод штрафних функцій, як найбільш відповідний даній задачі. Тому що він відповідає умові мінімізації цільової функції при наявності обмежень рівності та нерівності. Далі буде розглянутий алгоритм методу штрафних функцій [30].

На першому кроці необхідно задати початкові значення:

- кількість змінних

;

- кількість обмежень типу нерівностей

;

- кількість обмежень типу рівності

;

- параметр закінчення процедури безумовної мінімізації

;

- параметр закінчення роботи алгоритму

;

- початкове наближення для

– ;

- початковий вектор штрафних параметрів

.

На другому кроці необхідно побудувати штрафну функцію: