Анализ временных рядов (стр. 11 из 12)

полученные соотношения показывают, что

экспоненциально убывает от начального значения , зависящего от и при этом, если > , то затухание монотонное; при < – затухание колебательное.

Аналогично может быть построена автокорреляционная функция для общей модели АРСС(р, q).

Умножим все члены (1) на

. Возьмем математическое ожидание и в результате получим следующее разностное уравнение.

Где

- взаимная ковариационная функция между y и . Поскольку возмущения в момент t и значения ряда в прошлые моменты (см(2)) не коррелируют, 0 при k>0.

Отсюда следует, что для значений

q+1 автоковариации и автокорреляции удовлетворяют тем же соотношениям, что и в модели АР(р):

В итоге оказывается, что при q<р вся автокорреляционная функция будет выражаться совокупностью затухающих экспонент и / или затухающих синусоидальных волн, а при q>p будет q-p значений

, выпадающих из данной схемы.

10.1.6 Интегрированная модель авторегрессии- скользящего среднего

Модель АРСС допускает обобщение на случай, когда случайный процесс является нестационарным. Ярким примером такого процесса являются «случайные блуждания»:

(1)

С использованием оператора сдвига модель (1) принимает вид

(2)

Из (2) видно, что процесс (1) расходящийся, поскольку

. Характеристическое уравнение этого процесса имеет корень, равный единице, то есть имеет место пограничный случай, когда корень характеристического уравнения оказался на границе единичной окружности. В то же время, если перейти к первым разностям , то процесс окажется стационарным.

В общем случае полагается, что нестационарный авторегрессионный оператор

в модели АРСС имеет один или несколько корней, равных единице. Иными словами, является нестационарным оператором авторегрессии порядка p+d; dкорней уравнения =0 равны единице, а остальные р корней лежат вне единичного круга. Тогда можно записать, что

,

где a(B) – стационарный оператор авторегрессии порядка р (с корнями вне единичного круга).

Введем оператор разности

, такой что =(1-B) , тогда нестационарный процесс АРСС запишется как

, (3)

где b(B) – обратимый оператор скользящего среднего (вне его корни лежат вне единичного круга).

Для разности

порядка d , то есть модель

описывает уже стационарный обратимый процесс АРСС(р, q).

Для того чтобы от ряда разностей вернуться к исходному ряду требуется оператор s, обратный

:

Этот оператор называют оператором суммирования, поскольку

.

Если же исходной является разность порядка d, то для восстановления исходного ряда понадобится d - кратная итерация оператора s, иначе d- кратное суммирование (интегрирование). Поэтому процесс (3) принято называть процессом АРИСС, добавляя к АРСС термин интегрированный. Кратко модель (3) записывают как АРИСС(р, d, q), где р – порядок авторегрессии, d – порядок разности, q – порядок скользящего среднего. Ясно, что при d =0 модель АРИСС переходит в модель АРСС .

На практике d обычно не превышает двух, то есть d .

Модель АРИСС допускает представление, аналогичное общей линейной модели, а так же в виде «чистого » процесса авторегрессии (бесконечного порядка). Рассмотрим, к примеру, процесс АРИСС (1, 1, 1):

(4)

Из (4) следует, что

Отсюда

(5)

В выражении (5) коэффициенты, начиная с третьего, вычисляются по формуле

.

Представление (5) интересно тем, что веса, начиная с третьего, убывают по экспоненциальному закону. Поэтому, хотя формально

зависит от всех прошлых значений, однако реальный вклад в текущее значение внесут несколько «недавних» значений ряда. Поэтому уравнение (5) более всего подходит для прогнозирования.

11.Прогнозирование по модели АРИСС

Как уже отмечалось, процессы АРИСС допускают представление в виде обобщенной линейной модели, то есть

Естественно искать будущее (прогнозное) значение ряда в момент

в виде

Ожидаемое значение

, которое мы будем обозначать как

=

Первая сумма в правой части последнего соотношения содержат лишь будущие возмущения (прогноз делается в момент t, когда известны прошлые значения и ряда

и возмущений ) и для них математическое ожидание равно 0 по определению. Что же касается второго слагаемого, то возмущения здесь уже состоялись, так что

Таким образом

= (1)

Ошибка прогноза, представляющая расхождение между прогнозным значением и его ожиданием есть

=

Дисперсия ошибки отсюда есть

(2)

Прогнозирование по соотношению (1) в принципе возможно, однако затруднительно поскольку требует знания всех прошлых возмущений. К тому же для стационарных рядов скорость затухания

часто оказывается недостаточной, не говоря уже о нестационарных процессах, для которых ряды расходятся.

Поскольку модель АРИСС допускает и другие представления, рассмотрим возможности их использования для прогнозирования. Пусть модель задана непосредственно разностным уравнением