Математичне програмування (стр. 3 из 3)
З вантажів хij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (1, 2) = 20. Додаємо 20 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 20 з Хij, що стоять в мінусових клітинах.
В результаті отримаємо новий опорний план.
| Ai | Bj | ui | ||||
| b1 = 100 | b2 = 20 | b3 = 70 | b4=100 | b5=180 | ||
| а1 = 300 | 1100 | 4 | 7 | 2[-]80 | 3[+]120 | u1 = 0 |
| а2 = 90 | 1 | 5 | 3[-]70 | 1[+]20 | 6 | u2 = -1 |
| а3 = 70 | 2 | 120 | 3[+] | 1 | 4[-]50 | u3 = 1 |
| а4 = 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 010 | u4 = -3 |
| vj | v1 =1 | v2 =0 | v3 =4 | v4 =2 | v5 =3 | |
Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали ui, vi. по зайнятих клітинам таблиці, в яких ui + vi = cij, вважаючи, що u1 = 0.
Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких ui + vi > cij
(3;3): 1 + 4 > 3; ∆33 = 1 + 4 - 3 = 2
(3;4): 1 + 2 > 1; ∆34 = 1 + 2 - 1 = 2
(4;3): -3 + 4 > 0; ∆43 = -3 + 4 - 0 = 1
max(2,2,1) = 2
Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3;3): 3
Для цього в перспективну клітку (3;3)поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.
З вантажів хij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (А1B1) =70. Додаємо 70 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 70 з Хij, що стоять в мінусових клітинах.
В результаті отримаємо новий опорний план.
| Ai | Bj | ui | ||||
| b1 = 100 | b2 = 20 | b3 = 70 | b4=100 | b5=180 | ||
| а1 = 300 | 1100 | 4 | 7 | 2[-]30 | 3[+]170 | u1 = 0 |
| а2 = 90 | 1 | 5 | 3[-]20 | 1[+]70 | 6 | u2 = -1 |
| а3 = 70 | 2 | 120 | 350 | 1 | 4 | u3 = -1 |
| а4 = 10 | 0 | 0 | 0[+] | 0 | 0[-]10 | u4 = -3 |
| vj | v1 =1 | v2 =2 | v3 =4 | v4 =2 | v5 =3 | |
Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали ui, vi. по зайнятих клітинам таблиці, в яких ui + vi = cij, вважаючи, що u1 = 0.
Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких ui + vi > cij
(4;3): -3 + 4 > 0; ∆43 = -3 + 4 - 0 = 1
Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (4;3): 0
Для цього в перспективну клітку (4;3)поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.
З вантажів хij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (4, 5) = 10. Додаємо 10 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 10 з Хij, що стоять в мінусових клітинах.
В результаті отримаємо новий опорний план.
| Ai | Bj | ui | ||||
| b1 = 100 | b2 = 20 | b3 = 70 | b4=100 | b5=180 | ||
| а1 = 300 | 1100 | 4 | 7 | 220 | 3180 | u1 = 0 |
| а2 = 90 | 1 | 5 | 310 | 180 | 6 | u2 = -1 |
| а3 = 70 | 2 | 120 | 350 | 1 | 4 | u3 = -1 |
| а4 = 10 | 0 | 0 | 010 | 0 | 0 | u4 = -4 |
| vj | v1 =1 | v2 =2 | v3 =4 | v4 =2 | v5 =3 | |
Перевіримо оптимальність опорного плану, тобто повторюємо описані раніше дії.
Знайдемо потенціали ui, vi. по зайнятих клітинам таблиці, в яких ui + vi = cij, вважаючи, що u1 = 0.
Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний.
Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:
F(x) = 1*100 + 2*20 + 3*180 + 3*10 + 1*80 + 1*20 + 3*50 + 0*10 = 960
За оптимальним планом перевезень загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 940 грн.
Завдання 4
Знайти графічним методом екстремуми функцій в області, визначеній нерівностями.
.Розв’язок
Побудуємо область допустимих рішень, тобто вирішимо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо півплощини, задані нерівностями (півплощини позначені штрихом).
екстремум модель математичний перевезення оптимальний
Межі області
Цільова функція F(x) => max
Розглянемо цільову функцію завдання F = 5X1+7X2 => max.
Побудуємо пряму, що відповідає значенню функції F = 0: F = 5X1+7X2 = 0. Будемо рухати цю пряму паралельним чином. Оскільки нас цікавить максимальне рішення, тому рухався прямо до останнього торкання позначеної області. На графіку ця пряма позначена пунктирною лінією.
Рівний масштаб
Перетином півплощини буде область, яка представляє собою багатокутник, координати точок якого задовольняють умові нерівностей системи обмежень задачі.
Пряма F(x) = const перетинає область у точці B. Оскільки точка B отримана в результаті перетину прямих 1 i 5, то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:
x1+x2≤4
x1=0
Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x1 = 0, x2 = 4
Звідки знайдемо максимальне значення цільової функції:
F(X) = 5*0 + 7*4 = 28