Экономико-математические модели задач о смесях на примере СПК "Родина" (стр. 3 из 6)
при линейных ограничениях
;2) модель транспортной задачи линейного программирования- состоит в том, чтобы наивыгоднейшем образом прикрепить поставщиков однородного продукта ко многим потребителям этого продукта;
3) модель распределительной (лямбда) задачи линейного программирования - часто ее называют обобщенной транспортной задачей, которая заключается в использовании взаимозаменяемых ресурсов;
4) модель ассортиментной задачи линейного программирования- ее можно решать на основе системы ограничений общей или распределительной задачи линейного программирования. Особенность целевой функции состоит в том, что ставится задача максимизации количества комплектов изделий, т.е.
С= X1/K1= X2/K2=…= Xn/KnMax, гдеC- количество комплектов;
Kj- количество j-х изделий, входящих в комплект (j=1,2,..,n)
Xj- количество производимых изделий j- го вида.
В общем виде задачи распределения характеризуются следующими условиями:
1. Существует ряд операций, которые должны быть выполнены.
2. Имеется достаточное количество ресурсов для выполнения всех операций.
3. Некоторые операции можно выполнять различными способами.
4. Некоторые способы выполнения операций лучше других.
5. Имеющегося в наличии количества ресурсов недостаточно для выполнения каждой операции наилучшим способом.
Рассмотрим более подробно задачи распределения, различающихся между собой видом математических моделей и объектами исследования: задачи о назначениях, задачи использования ресурсов (или задачи собственно распределения), задачи о смесях (о диете), задачи о раскрое, транспортные задачи. Так как я буду использовать при решении задачи задачу собственно распределения, то остановлюсь на ней более подробно[].
Задача о смесях (о диете)
К задачам о диете относятся задачи, в которых требуется выбрать самый дешевый пищевой рацион, содержащий необходимое количество указанных заранее питательных веществ. Предполагается, что:
1. известен перечень биологически необходимых питательных веществ и их минимальная норма (например, суточная);
2. задан набор продуктов, из которых требуется составить пищевой рацион;
3. имеются нормы содержания различных питательных веществ в единице соответствующего продукта;
4. известна цена единицы каждого продукта, который может быть использован в пищевом рационе. Подобная проблема возникает при выборе рационального корма для скота.
Формализуем описанную ситуацию:
Будем считать, что в рацион должно входить m биологически необходимых питательных веществ (индекс i). Таким образом, i=1,2,..,m.
Известно, что i-го питательного вещества в рационе должно быть не меньше, чем biединиц. Предположим, что мы располагаем n различными продуктами, из которых составляется пищевой рацион (индекс j, j=1,2,…,n). Норму содержания i-го питательного вещества в j-ом продукте обозначим через aij. Нам известна таблица-матрица, состоящая из m×n чисел aij.
Таблица 2.1.1
| Пищевые продукты | |||||
| 1 | 2 | … | n | ||
| Питательные вещества | 1 | a11 | a12 | … | a1n |
| 2 | a21 | a22 | … | a21 | |
| ... | … | … | … | … | |
| … | … | … | … | … | |
| m | am1 | am2 | … | amn | |
Цены, которые установлены на продукты питания, обозначим cj за единицу j-го продукта. Количество j-го продукта, входящего в пищевой рацион, обозначим через xj.
В этих обозначениях выбор самого дешевого рациона, удовлетворяющего сформулированным выше требованиям, сводится к решению следующей математической задачи:
Найти вектор X = ( x1, x2, …, xn), удовлетворяющий системе ограничений:
и доставляющий целевой функции
минимальное значение.Ограничение для каждого i означает, что в выбираемом рационе i-го питательного вещества должно содержать не менее, чем bi единиц. Второе ограничение формализует тот факт, что j-ый продукт может либо входить в рацион, и тогда xi>0, либо не входить, и тогда xi =0.
2.2 Методы решения задач о смесях
экономическая математическая задача интегрированная
От того, как будут распределяться ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности бизнеса, т. е., успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего способа использования ресурсов.
В результате чего и разработали методы решения данных задач, называемых оптимизационными методами задач распределения, основные из них: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод, метод искусственного базиса, графический метод и решение задач средствами Excel через «Поиск решений». Так как я во втором разделе буду использовать при решении задачи распределения симплекс-метод, то рассмотрю его подробнее.
Симплекс-метод
Классическим методом решения рада линейного программирования стал симплекс-метод, получившим также в литературе название метода последовательного улучшения плана. Этот метод был разработан в 1947 г. американским математиком Джорджем Данцигом. Этот метод может быть использован для решения большого комплекса задач внутризаводского планирования: формирование специфицированной годовой производственной программы выпуска предприятия, плана загрузки различных групп оборудования, календарное распределение производственной программы выпуска и т.д.
Сточки зрения рациональности и наглядности вычислительного процесса выполнение алгоритма симплекс-метода удобно оформлять в виде последовательности таблиц. В различных источниках приводятся разные модификации симплекс таблиц, отличающихся друг от друга расположением отдельных элементов. Однако все они базируются на одних и тех же принципах. Основная идея симплекс-метода состоит в следующем:
1) принимается за базу одна из возможных программ - отправная (опорный план);
2) осуществляется ее пошаговое улучшение, пока не будет получен оптимум по заданной критериальной функции.
Т.о. проблема сводится к определению отправного варианта программы и нахождению способа улучшения последнего. При этом при формировании начального варианта программы создается как бы запас, возможность реализации в виде резервов тех ресурсов, которые регламентируются в сложившейся производственной ситуации. В процессе преобразований одни переменные вводятся в план, другие исключаются из него. С каждым шагом план приближается к оптимальному и в конечном счете приходит к нему, если в условиях задачи нет противоречия. За счет пошагового распределения ресурсов между планируемыми на выпуск изделиями (деталями) находится такое сочетание номенклатуры и количества этих изделий, которое является наилучшим с точки зрения достижения заданного критерия оптимальности и использования имеющихся ресурсов.
Решение задач симплекс-методом предусматривает выполнение следующих процедур:
1) формирование целевой функции;
2) определение ограничительных условий – функциональных ограничений, которые могут иметь вид неравенств;
3) преобразование ограничений из неравенств в систему равенств путем ввода вспомогательных, свободных переменных (последние имеют экономическое содержание и характеризуют резерв, неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым введено ограничение);
4) построение исходной симплексной таблицы, в которой в формируемый план входят только свободные переменные;
5) ввод в исходный вариант плана реальных переменных и прежде всего тех, которые в наибольшей степени реализуют целевую функцию;
6) определение числового значения вводимой переменной – величины программы.
При этом каждый из показателей, характеризующих ограничительное условие, делится на соответствующий коэффициент при вводимом переменном – удельный расход данного ресурса. Тогда наименьшее частное определит максимально возможное в условиях принятых ограничений использование ресурсов при заданном критерии оптимальности. Полученный результат вводится в соответствующую строку формируемого плана симплексной таблицы. На этой строке матрицы весь ресурс исчерпан, она является «узким местом» и подлежит выводу. На ее место вводится другая строка, предварительно пересчитанная. Формируется новый вариант симплексной таблицы.
После каждой симплексной таблицы анализируется оптимальность полученного решения. Если все элементы последней строки (Z-строки) положительны и задача на максимум, то решение оптимально. Если все элементы Z-строки отрицательны и задача на минимум, то решение оптимально. Если план неоптимальный, производится его дальнейшее улучшение.
Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Формирование целевой функции и системы ограниченных условий.
1. Перевод неравенств в систему равенств.
2. Построение исходной симплекс-таблицы
Таблица 2.2.1
| Базис | Ci+n | C1 | C2 | … | Cn | Cn+1 | Cn+2 | … | Cn+m | Bj |
| x1 | x2 | … | xn | xn+1 | xn+2 | … | xn+m | |||
| xn+1 | Cn+1 | a11 | a12 | … | a1n | 1 | 0 | … | 0 | b1 |
| xn+2 | Cn+2 | a21 | a22 | … | a2n | 0 | 1 | … | 0 | b2 |
| … | … | … | … | ... | … | … | … | … | … | … |
| xn+m | Cn+m | am1 | am2 | … | amn | 0 | 0 | … | 1 | bn+m |
| Z0 | -- | -C1 | -C2 | … | -Cn | 0 | 0 | … | 0 | 0 |
3. 1-й столбец содержит базисные переменные (xn+m). 2-й столбец содержит коэффициенты целевой функции при базисных переменных (Ci+n). xi - переменные задачи i=1,2,…n. C1, …,Cn – коэффициенты при x1 ,…, xn целевой функции соответственно. Остальные столбцы и строки (кроме последней) содержат коэффициенты переменных в ограничениях. В последнем столбце находятся свободные члены. Последняя строка определяется по формуле: