Финансовая математика (стр. 2 из 4)
По графику остатков (рис. 1) видно, что т = 8
8 > 6, следовательно, критерий поворотных точек выполняется и остатки имеют случайный характер распределения.
Рис. 1
2. Исследуем независимость ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона
С помощью критерия Дарбина – Уотсона определяют независимость уровней ряда остатков, отсутствие автокорреляции в ряду остатков.
Находим расчетное значение статистики Дарбина-Уотсона dwрасчпо формуле:
Значение критерия Дарбина-Уотсона распределено в интервале от 0 до 4. Расчетное значение сравнивается с табличными d1 = 1,10, d2 = 1,37.
Суммы для расчета критерия Дарбина – Уотсона приведены в итоговых строках 7 и 8 таблицы 3.
2 < dрасч = 2,608 < 4 – находим d’ = 4 – dрасч = 4-2,608 = 1,392
d2 =1,37 < dрасч 1,392 < 2 – свойство независимости выполняется, автокорреляция в ряду остатков отсутствует.
3. Исследуем нормальность распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Расчетное значение критерия находится по формуле:
Emax и Emin – наибольшее и наименьшее значение остатков.
Расчетное значение R/S критерия попадает внутрь критических значений (3 < 3,740 < 4,21), следовательно, свойство выполняется, распределение остатков соответствует нормальному закону распределения.
Вывод: Рядом остатков выполняются все свойства, что говорит об ее адекватности. Низкое значение средней относительной ошибки аппроксимации свидетельствует о высокой точности построенной модели. Следовательно, модель является качественной и ее можно использовать для прогнозирования.
IV. Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год
Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса:
Ft : F(4;1) = 0,876
F(4;2) = 1,083
F(4;3) = 1,273
F(4;4) = 0,774
t = 17; k = 1
t = 18; k = 2
t = 19; k = 3
t = 20; k = 4
В 1-ый квартал предполагается, что сумма кредитов на жилищное строительство составят 52,788, во 2-й квартал – 66,373, в 3-й квартал – 79,308, в 4-й квартал – 49,013.
На рис. 2 представлены фактические, расчетные и прогнозные значения кредитов от коммерческого банка на жилищное строительство.
Рис. 2
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (табл. 4). Интервал сглаживания принять равным 5 дням. Рассчитать:
· Экспоненциальную скользящую среднюю;
· Момент;
· Скорость изменения цен;
· Индекс относительной силы;
· %R, %K, %D;
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 4. Исходные данные
| Дни | Цены | ||
| Макс. | Мин. | Закр. | |
| 1 | 595 | 580 | 585 |
| 2 | 579 | 568 | 570 |
| 3 | 583 | 571 | 578 |
| 4 | 587 | 577 | 585 |
| 5 | 586 | 578 | 582 |
| 6 | 594 | 585 | 587 |
| 7 | 585 | 563 | 565 |
| 8 | 579 | 541 | 579 |
| 9 | 599 | 565 | 599 |
| 10 | 625 | 591 | 618 |
РЕШЕНИЕ
1. Определим экспоненциальную скользящую среднюю
При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. ЕМА рассчитывается по формуле:
,где Pt – цена закрытия дня t; k – параметр сглаживания;
,где n – порядок скользящей средней
При определении EMAt-1 берется простая скользящая средняя из порядка скользящей средней.
Графическое изображение фактических цен и экспоненциальной скользящей средней представлено на рис. 3.
Рис. 3
До 6 дня линия скользящей средней ЕМА находилась ниже ценового графика, т.е. ценовой тренд был восходящим. На 7-й день линия EMA пересекла график цен, линия ЕМА находилась выше графика цен, т.е. тренд изменил свое направление, стал нисходящим и поступилсигнал к покупке финансового актива. На 8-й день линия EMA опять пересекла график цен, тренд изменил свое направление, стал восходящим и поступилсигнал к продаже финансового актива.
2. Определим момент Mt
Момент рассчитывается по формуле:
Мt = Pt – Pn ,
где Pt– цена закрытия текущего дня; Pn– цена закрытия n дней назад, включая текущий
Критическим уровнем для Мtявляется 0. Если Мt > 0, то это свидетельствуют об относительном росте цен, если Мt < 0 – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке (в случае нисходящего тренда ситуация развивается в обратном направлении).
n = 5
| М5 = | Р5 | - | Р1 | = | 582 | -585 | = | -3 |
| М6 = | Р6 | - | Р2 | = | 587 | -570 | = | 17 |
| М7 = | Р7 | - | Р3 | = | 565 | -578 | = | -13 |
| М8 = | Р8 | - | Р4 | = | 579 | -585 | = | -6 |
| М9 = | Р9 | - | Р5 | = | 599 | -582 | = | 17 |
| М10 = | Р10 | - | Р6 | = | 618 | -587 | = | 31 |
Графически момент представлен на рисунке 4.
Рис. 4
На 6 день линия момента пересекла критический нулевой уровень, значения момента положительные, ценовой тренд стал восходящим, наблюдается относительное повышение цен, поступил сигнал к покупке финансового инструмента. На 7 день линия момента пересекла критический нулевой уровень, значения момента стали отрицательные, ценовой тренд поменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительное снижение цен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линия момента опять пересекла критический уровень, тренд стал восходящим.
3. Рассчитаем скорость изменения цен ROCt
Скорость изменения цен ROCt рассчитывается по формуле:
,где Pt– цена закрытия текущего дня; Pn– цена закрытия n дней назад, включая текущий
Критическим уровнем для ROCtявляется 100%. Если ROC > 100%, то это свидетельствует об относительном росте цен, ROC < 100% – о снижении. При пересечении критической линии происходит разворот тренда.
n = 5
| ROC1 | = | Р5 | - | Р1 | = | 582 | / | 585 | * | 100% | = | 99,49% |
| ROC2 | = | Р6 | - | Р2 | = | 587 | / | 570 | * | 100% | = | 102,98% |
| ROC3 | = | Р7 | - | Р3 | = | 565 | / | 578 | * | 100% | = | 97,75% |
| ROC4 | = | Р8 | - | Р4 | = | 579 | / | 585 | * | 100% | = | 98,97% |
| ROC5 | = | Р9 | - | Р5 | = | 599 | / | 582 | * | 100% | = | 102,92% |
| ROC6 | = | Р10 | - | Р6 | = | 618 | / | 587 | * | 100% | = | 105,28% |
Графически график Мt и ROCtизменения цен одинаков. График ROCt представлен на рисунке 5.
Рис. 5
На 6 день линия ROC пересекла критический уровень 100%, ценовой тренд восходящий, наблюдается относительное повышение цен, поступил сигнал к покупке финансового инструмента. На 7 день линия ROC пересекла критический уровень, значения ROC стали менее 100%, ценовой тренд поменял свое направление и стал нисходящим, наблюдается относительное снижение цен, поступил сигнал к продаже финансового актива. На 9 день линия ROC опять пересекла критический уровень, тренд стал восходящим.