Финансовая математика (стр. 1 из 4)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
Решение задач по финансовой математике
Архангельск, 2010
Задание 1
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (табл. 1)
Таблица 1. Исходные данные
| t | Y(t) |
| 1 | 39 |
| 2 | 50 |
| 3 | 59 |
| 4 | 38 |
| 5 | 42 |
| 6 | 54 |
| 7 | 66 |
| 8 | 40 |
| 9 | 45 |
| 10 | 58 |
| 11 | 69 |
| 12 | 42 |
| 13 | 50 |
| 14 | 62 |
| 15 | 74 |
| 16 | 46 |
ТРЕБУЕТСЯ
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; = 0,6; = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- Независимости уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
- Нормальности распределения остаточной компоненты по R / S критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, то есть на один год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
РЕШЕНИЕ
I. Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; 2 = 0,6; 3 = 0,3.
Общий вид модели:
– расчетное значение уровня для момента времени t с периодом упреждения k; 
k – период упреждения;
L – период сезонности;
(t – L) - индекс сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года;
Ft– мультипликативный индекс сезонности;
a0(t); a1(t) – параметры модели;
1. Найдем начальные оценки параметров и индекса сезонности при n = 8.
- линейная трендовая модельПараметра а0 и а1 найдем используя МНК и систему нормальных уравнений:
Расчет необходимых сумм представлен в таблице 2
Таблица 2. Таблица для расчета параметров модели и расчетных значений
| t | у(t) |  | t2 |  |
| 1 | 39 | 39 | 1 | 45,333 |
| 2 | 50 | 100 | 4 | 46,238 |
| 3 | 59 | 177 | 9 | 47,143 |
| 4 | 38 | 152 | 16 | 48,048 |
| 5 | 42 | 210 | 25 | 48,952 |
| 6 | 54 | 324 | 36 | 49,857 |
| 7 | 66 | 462 | 49 | 50,762 |
| 8 | 40 | 320 | 64 | 51,667 |
| 36 | 388 | 1784 | 204 |
Линейная трендовая модель при n = 8:
Для нахождения начальных оценок индекса сезонности нужно фактические значения признака разделить на расчетные и полученные значения усреднить по одноименным кварталам.
Расчетные значения признака получаем путем последовательной подстановки значений t в трендовую модель
(последняя графа таблицы 2). 
2. Произведем корректировку параметров
Корректировка параметров осуществляется по формулам:
, 
, 
- параметры адаптации экспоненциального сглаживания.Рассматриваем I цикл
Рассматриваем II цикл
Рассматриваем III цикл
Рассматриваем VI цикл
Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса:
Ft : F(4;1) = 0,876
F(4;2) = 1,083
F(4;3) = 1,273
F(4;4) = 0,774
Таблица 3. Расчетная таблица для оценки качества модели
| t | y(t) |  | E(t) |  | m | E(t)2 |  |
| 1 | 39 | 38,947 | 0,053 | 0,001 | - | 0,003 | |
| 2 | 50 | 50,066 | -0,066 | 0,001 | 0 | 0,004 | 0,014 |
| 3 | 59 | 60,154 | -1,154 | 0,020 | 1 | 1,333 | 1,185 |
| 4 | 38 | 37,327 | 0,673 | 0,018 | 1 | 0,452 | 3,338 |
| 5 | 42 | 42,000 | 0,000 | 0,000 | 1 | 0,000 | 0,453 |
| 6 | 54 | 53,821 | 0,179 | 0,003 | 0 | 0,032 | 0,032 |
| 7 | 66 | 64,192 | 1,808 | 0,027 | 0 | 3,267 | 2,653 |
| 8 | 40 | 41,154 | -1,154 | 0,029 | 1 | 1,331 | 8,770 |
| 9 | 45 | 45,277 | -0,277 | 0,006 | 0 | 0,077 | 0,769 |
| 10 | 58 | 57,902 | 0,098 | 0,002 | 1 | 0,010 | 0,141 |
| 11 | 69 | 69,621 | -0,621 | 0,009 | 0 | 0,385 | 0,517 |
| 12 | 42 | 42,910 | -0,910 | 0,022 | 1 | 0,828 | 0,084 |
| 13 | 50 | 47,562 | 2,438 | 0,049 | 1 | 5,946 | 11,212 |
| 14 | 62 | 62,133 | -0,133 | 0,002 | 0 | 0,018 | 6,613 |
| 15 | 74 | 74,331 | -0,331 | 0,004 | 1 | 0,110 | 0,039 |
| 16 | 46 | 45,677 | 0,323 | 0,007 | - | 0,104 | 0,428 |
| 0,925 | 0,200 | 8 | 13,900 | 36,248 |
II. Оценим точность построенной модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации
Расчет
представлен в графе 5 таблицы 3 
Поскольку S < 7 %, то модель считается точной.
III. Оценим адекватность построенной модели
1. Исследуем случайность остаточной компоненты
Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков). Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше). Распределение ряда остатков считается случайным если выполняется неравенство:
m – количество поворотных точек.
Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа.