Уравнения линейной регрессии (стр. 3 из 3)
Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.
Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Табл. 2.1.
| Номер варианта | Номер уравнения | Задача 2а | Задача 2б | ||||||||||||
| переменные | переменные | ||||||||||||||
| y1 | y2 | y3 | x1 | x2 | x3 | x4 | y1 | y2 | y3 | x1 | x2 | x3 | x4 | ||
| 6 | 1 | -1 | b12 | b13 | a11 | a12 | 0 | 0 | -1 | 0 | b13 | a11 | a12 | 0 | a14 |
| 2 | b21 | -1 | b23 | a21 | 0 | 0 | a24 | b21 | -1 | 0 | a21 | 0 | a23 | a24 | |
| 3 | 0 | b32 | -1 | a31 | a32 | a33 | 0 | b31 | 0 | -1 | a31 | a32 | 0 | a34 | |
Решение
a) CФМ имеет вид:
Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации
Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| х3 | х4 | |
| 2 | 0 | а24 |
| 3 | а33 | 0 |
Составим матрицу из коэффициентов
Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.
2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).
2+1=3 — необходимое условие идентификации выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| х2 | х3 | |
| 1 | а12 | 0 |
| 3 | а32 | а33 |
Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.
3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).
1+1=2 — необходимое условие идентификации выполняется.
Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| у1 | х4 | |
| 1 | -1 | 0 |
| 3 | b21 | а24 |
Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.
Т.о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.
б) СФМ имеет вид:
Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).
Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| у2 | х3 | |
| 2 | -1 | а23 |
| 3 | 0 | 0 |
Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.
2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.
Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| у3 | х2 | |
| 1 | b13 | а12 |
| 3 | -1 | a32 |
Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.
3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
| уравнение | Отсутствующие переменные | |
| у2 | х3 | |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | -1 | a23 |
Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.
Т.к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.
Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:
Табл. 2.2.
| Вариант | n | y1 | y2 | x1 | x2 |
| 6 | 1 | 77,5 | 70,7 | 1 | 12 |
| 2 | 100,6 | 94,9 | 2 | 16 | |
| 3 | 143,5 | 151,8 | 7 | 20 | |
| 4 | 97,1 | 120,9 | 8 | 10 | |
| 5 | 63,6 | 83,4 | 6 | 5 | |
| 6 | 75,3 | 84,5 | 4 | 9 |
Решение
Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.
Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальных уравнений.
Расчеты произведем в табл. 2.3.
Табл. 2.3.
| n | y1 | y2 | x1 | x2 |  |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 77,5 | 70,7 | 1 | 12 | 77,5 | 1 | 12 | 930 | 144 | 70,7 | 848,4 |
| 2 | 100,6 | 94,9 | 2 | 16 | 201,2 | 4 | 32 | 1609,6 | 256 | 189,8 | 1518,4 |
| 3 | 143,5 | 151,8 | 7 | 20 | 1004,5 | 49 | 140 | 2870 | 400 | 1062,6 | 3036 |
| 4 | 97,1 | 120,9 | 8 | 10 | 776,8 | 64 | 80 | 971 | 100 | 967,2 | 1209 |
| 5 | 63,6 | 83,4 | 6 | 5 | 381,6 | 36 | 30 | 318 | 25 | 500,4 | 417 |
| 6 | 75,3 | 84,5 | 4 | 9 | 301,2 | 16 | 36 | 677,7 | 81 | 338 | 760,5 |
| ∑ | 557,6 | 606,2 | 28 | 72 | 2742,8 | 170 | 330 | 7376,3 | 1006 | 3128,7 | 7789,3 |
| средн. | 92,933 | 101,033 | 4,667 | 12 |
Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений.
Решение этих уравнений дает значения d11=5,233; d12=5,616.
1-e уравнение ПФМ имеет вид:
Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую систему нормальных уравнений
Расчеты произведем в табл. 2.3.
Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений, получим
Решение этой системы дает значения d21=9,288; d22=4,696.
2-е уравнение ПФМ имеет вид
Для перехода от ПФМ к СФМ найдем х2 из второго уравнения.
Подставив это выражение в 1-е уравнение, найдем структурное уравнение.
т.о. b12=1,196; a11=-5,875.
Найдем х1 из 1-го уравнения ПФМ
Подставив это выражение во 2-е уравнение ПФМ, найдем структурное уравнение.
т.о. b21=1,775; a22=-5,272
Свободные члены СФМ находим из уравнений
линейныйрегрессия детерминация аппроксимация квадрат
Ответ: окончательный вид СФМ таков
