Оптимизация расстановки транспортных средств на открытых автостоянках в интересах Государственной противопожарной службы (стр. 5 из 11)

Рассмотрим первые

машин, находящихся на отрезке . Обозначим через расстояние между 0 и самой левой машиной;

- расстояние между этой машиной и машиной, стоящей второй слева и так далее.

- расстояние между машиной, находящейся на правом краю и . Тогда условное распределение , где такое же, как распределение при независимых. Следовательно, условное

распределение

равно распределению , где - независимое и определено

По лемме 1, где

получаем или

(2.2.18) для каждого .

Отсюда следует

для условных дисперсии .

Таким образом верно для

для всех достаточно больших и всех случайных . Из условия следует .

Пусть

- событие: такое, что , тогда из условия следует, что фиксированного выполняется и при удовлетворяет условию .

Определим функцию

, положив и обозначим событие: . Возьмем и разделим отрезок на интервалов одинаковой длины, обозначенных , тогда, если условие неверно, принимается, что, по крайней мере, один из интервалов разбивается по первым припаркованным на стоянку машинам.

Вероятность, это меньше, чем

и , при [5]. Следовательно, .

Так как

постоянная, выбирая из выражения (лемма 2) следует, что для больших и тогда удовлетворяет соотношению (лемма 2).

Отсюда можно сделать вывод, что условное распределение

, данное есть асимптотически нормальное распределение с параметрами .

Из условия

и следует, что и само распределение имеет такое же распределение.

Таким образом доказали, что случайная величина

имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами при [3].

2.3 Решение интегрального уравнения операционным методом

Применим к решению интегрального уравнения:

, (2.3.1)

операционный метод Лапласа.

Запишем уравнение в виде:

, (2.3.2)

продифференцируем его по

:

, (2.3.3)

начальные условия:

при ,

умножим это уравнение на

и обозначим , (2.3.4)

где

,

.

Проинтегрируем по

от до :

(2.3.5)

Рассмотрим интегралы, входящие в уравнение (3.5):

(2.3.6)

- искомая функция изображения функции (2.3.7)