Средства эконометрического моделирования и прогноза курса акций British Petroleum (стр. 2 из 6)
Статистика Дики–Фуллера равна -13,27932. Все приведённые в таблице критические значения больше расчётного, максимальный уровень значимости, при котором можно отклонить гипотезу случайного блуждания – 0, поэтому гипотеза о наличии у процесса характера случайного блуждания отклоняется.
Закон распределения полученного ряда
Как видно из гистограммы, имеющей более вытянутую по вертикали форму, чем характерная для нормального распределения, и статистических показателей (рис. 5), распределение полученного ряда отлично от нормального: хотя коэффициент асимметрии равен 0,6, что близко к нулю и говорит о симметричности распределения относительно среднего значения, куртозис равен 11,918, что существенно больше трёх. Поскольку закон распределения не является нормальным, для проверки гипотезы о стационарности полученного ряда параметрические тесты неприменимы, и необходимо провести непараметрические тесты.
Рис. 5. Гистограмма распределения ряда третьих конечных разностей
Тест Вальда–Вольфовитца на постоянство математического ожидания
При проведении теста в ряду была обнаружена 271 серия, самая длинная из которых состоит из 4 элементов.
Согласно тесту, для того, чтобы математическое ожидание ряда было постоянным, длина самой длинной серии должна быть меньше
; и количество серий должно быть больше 
.Оба условия выполняются. Согласно тесту Вальда–Вольфовитца гипотеза о постоянстве математического ожидания ряда не может быть отклонена.
Тест Манна – Уитни на постоянство математического ожидания
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 212 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 26982 – сумма рангов, присвоенных элементам из первой части ряда
, 
В соответствии с тестом Манна–Уитни гипотеза о постоянстве математического ожидания не может быть отклонена.
Тест Сиджела–Тьюки на постоянство дисперсии
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 212 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 26479 – сумма рангов, присвоенных элементам из первой части ряда
, Согласно тесту Сиджела–Тьюки гипотеза о постоянстве дисперсии не может быть отклонена.
Итак, полученный ряд можно рассматривать как стационарный.
Эконометрические модели для конечных разностей
Идентификация модели
Изучив вид автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда (таблица 5), полученного с помощью конечных разностей, можно предположить, какая модель наилучшим образом будет описывать процесс.
Таблица 5. Коррелограмма ряда третьих конечных разностей
Первые два коэффициента автокорреляции ряда выходят за пределы доверительной трубки. Коэффициенты частной корреляции, вплоть до одиннадцатого включительно также выходят за пределы доверительной трубки, а их значения уменьшаются вплоть до шестого включительно.
Таблица 6. Критические значения для Q-Stat при уровне значимости 0,05
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Критическое значение | 3,84146 | 5,99146 | 7,81473 | 9,48773 | 11,0705 | 12,5916 |
| t | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Критическое значение | 14,0671 | 15,5073 | 16,919 | 18,307 | 19,6751 | 21,0261 |
Критические значения, представленные в таблице 6, представляют собой квантиль хи квадрат распределения уровня значимости 0,05 со степенями свободы, равными количеству включаемых лагов («t» в таблице). Все значения Q-Stat (таблица 5) для ряда, полученного из исходного с помощью конечных разностей, превышают соответствующие критические значения (таблица 6). Это свидетельствует о наличии автокорреляции в полученном ряду, что позволит построить по нему модель, где в роли регрессоров выступают предыдущие значения ряда либо предыдущие значения ошибок модели.
Подобный вид автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (таблица 5) характерен для моделей скользящего среднего второго порядка.
Поскольку ряд конечных разностей имеет распределение, отличное от нормального, критерий Стьюдента для определения статистической значимости коэффициентов в моделях использован быть не может.
МА(2)
Таблица 7. Модель МА(2)
В соответствии с данной моделью процесс описывается уравнением:
S.D. = 2,258957 > 0,909794 = S.E, то есть модель снижает дисперсию процесса.
Таблица 8. Автокорреляция остатков модели МА(2)
Коэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции ошибки модели (таблица 8), за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки.
Все значения Q-Stat (таблица 8), вплоть до девятого включительно, меньше критических значений. В частности, девятое значение Q-Statравно 16,094, что меньше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки.
Десятое значение Q-Statравно 26,59, что превышает критическое значение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов автокорреляции ошибки.
Поскольку первые девять коэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны нулю, можно считать, что выход за пределы доверительной трубки значения десятого коэффициента автокорреляции ошибки вызван наведённой корреляцией.
Исходя из вида автокорреляционной и частной корреляционной функций ошибки модели, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции ошибки модели.
Среднее значение ошибки модели равно -0,026812, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибки равно 0,9081.
Таким образом, ошибка модели представляет собой «белый шум».
Таблица 9. Автокорреляция квадратов остатков модели МА(2)
Значения не всех коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки (таблица 9) находятся в пределах доверительной трубки: в частности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятое значения коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки выходят за пределы доверительной трубки. Первое значение Q-Stat (9,0138) уже превышает критическое (3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели. Итак, квадраты остатков модели коррелированны.
Нельзя утверждать, что именно МА(2) лучшим образом описывает процесс. Поэтому для сравнения далее будут рассмотрены близкие к МА(2) модели, содержащие один дополнительный регрессор: МА(3) и ARMA(1, 2).
МА(3)
Таблица 10. Модель МА(3)
Процесс в соответствии с данной моделью описывается уравнением:
S.D.= 2,25896 > 0,90919 = S.D., то есть модель снизила дисперсию процесса.
Таблица 11. Автокорреляция остатков модели МА(3)
Все значения коэффициентов автокорреляции и частной корреляции ошибки модели, за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки. Все значения Q-Stat вплоть до девятого включительно меньше критических значений.
Девятое значение Q-Stat составляет 16,622, что меньше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки. Десятое значение Q-Statравно 25,49, что превышает критическое значение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов корреляции ошибки.
Поскольку первые девять коэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны нулю, можно считать, что выход значения десятого коэффициента автокорреляции ошибки за пределы доверительной трубки вызван наведённой корреляцией.
На основании значений коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции ошибки, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод о некоррелированности ошибки модели.