Симплексный метод (стр. 2 из 3)
х41 + х42 + х43 = 500
Затраты на транспортировку составят
F(X) = х11 + 4х12 + 3х13 +
+ 7х21 + х22 + 5x23 +
+ 4х31 + 8х32 + 3х33 +
+ 6х41 + 2х42 + 8х43 .
Требуется найти неотрицательное решение системы уравнений (1) – (2), на котором целевая функция затрат F(X) принимает минимальное значение.
Задание 3.
Начальный план перевозок находим методом минимальной стоимости:
Заполняем клетку (1; 1) х11 = min {700, 400} = 400, от поставщика 1 вывезено все, в строке 1 больше поставок нет. Заполняем клетку (2; 2) х22 = min {800, 500} = 500, от поставщика 2 вывезено все, в строке 2 больше поставок нет. Клетка (4; 2) х42 = min {800 - 500, 500} = 300, потребителю 2 все завезено, в столбец 2 больше поставок нет. Клетка (3; 3) х33 = min {700, 800} = 700, потребителю 3 все завезено, в столбец 3 больше поставок нет. Далее клетка (3; 1) х31 = 100. Клетка (4; 1) х41 = 200. Все клетки, в которые даны поставки, считаем занятыми, остальные – свободными. Первоначальный план перевозок задается таблицей 1.
Таблица 1.
| Мощностипоставщиков | Мощности потребителей | ui | ||
| 700 | 800 | 700 | ||
| 400 | 1400 | 4 | 3 | 0 |
| 500 | 7 | 1500 | 5 | -4 |
| 800 | 4100 | 8 | 3700 | -3 |
| 500 | 6200 | 2300 | 8 | -5 |
| vj | 1 | -3 | 0 | |
Исследуем этот план перевозок на оптимальность методом потенциалов. Потенциалы для занятых клеток удовлетворяют уравнениям: vj= cij + ui.
Пусть u1 = 0; по клетке (1; 1) находим v1 = 1; по клетке (3; 1) находим u3 = -3; по клетке (4; 1) находим u4 = -5; по клетке (4; 2) находим v2 = -3; по клетке (3; 3) находим v3 = -0; по клетке (2; 2) находим u2 = -4.
Для всех клеток матрицы перевозок найдем оценки клеток dij = (ui + cij) - vj:
Среди оценок нет отрицательных, следовательно план перевозок Х0 (таблица 1) оптимальный.
Так как среди оценок свободных клеток есть нулевые (клетка (1; 3)), то оптимальный план перевозок не единственный.
Общие затраты на перевозки
F(X1) = 1*400 + 1*500 + 4*100 + 3*700 + 6*200 + 2*300 = 5200 ден. единиц будут минимальными при:
x11 = 400, x22 = 500, x31 = 100, х33 = 700, x41 = 200, x42 = 300, остальные xij= 0.
По оптимальному плану перевозок следует перевезти картофеля:
из первого района в первое хранилище - 400 т;
из второго района во второе хранилище - 500 т;
из третьего района в первое хранилище - 100 т,
в третье хранилище - 700 т;
из четвертого района в первое хранилище - 200 т,
во второе хранилище - 300 т.
Задача 4
В таблице приведены годовые данные о трудоемкости производства I т цемента (нормо-смен) (N —последняя цифра зачетной книжки студента):
| Текущий номер года (t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Трудоемкость 1 т цемента (yi) | 7,9+0,N | 8,3+0,N | 7,5+0,N | 6,9+0,N | 7,2+0,N | 6,5+0,N | 5,8+0,N | 4,9+0,N | 5,1+0,N | 4,4+0,N |
Задание 1. Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней, выбрав длину интервала сглаживания m = 3; результаты отразить на графике.
Задание 2. Определить наличие тренда во временном ряду методом Фостера - Стьюарта. Табличные значения статистики Стьюдента taпринять равными при уровне значимости a = 0.05 ta = 2,23 , а при a = 0,30 - ta = 1,09; другие необходимые табличные данные приведены в таблице 4.5 учебника на с.153 (описание метода Фостера - Стьюарта см. учебник с. 151- 153).
Задание 3. Для исходного временного ряда построить линейную трендовую модель
, определив ее параметры на основе метода наименьших квадратов (соответствующую систему нормальных уравнений см. в учебнике на с. 196 формула (5.5)).Задание 4. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования
а) близости математического ожидания остаточной компоненты (ряда остатков) нулю; критические значения r-критерия принять равным тому числу, как указанно в задании 2;
б) случайности отклонений остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек); Расчеты выполнить на основе соотношения 5.9. учебника на с. 200;
в) независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции) на основе критерия Дарбина — Уотсона (см. учебник с. 203— 204), используя в качестве критических значений dl = 1.08 и d2 = 1,36; если критерий Дарбина — Уотсона ответа не дает, исследование независимости провести по первому коэффициенту автокорреляции:
,где ei-- уровни остаточной компоненты;
Модуль первого коэффициента автокорреляции сравнить с критическим уровнем этого коэффициента, значение которого принять равным 0,36;
г) нормальности закона распределения уровней остаточной компоненты на основе RS-критерия;
В качестве критических значений принять интервал от 2,7 до 3,7 (см. учебник, стр. 201—-202).
Задание 5. Оценить точность построенной трендовой линейной модели, используя показатели среднего квадратического отклонения от линии тренда (формула (5,17) учебника на с. 210, k = 1) и средней относительной ошибки аппроксимации (формула (5.14) учебника на с. 204).
Задание 6. Построить точечный и интервальный прогноз трудоемкости производства 1 т цемента на два шага вперед (формула (5.18) учебника на с. 210). Результаты моделирования и прогнозирования отразить на графике.
Все промежуточные результаты вычислений представить в таблицах, вычисления провести с двумя десятичными знаками в дробной части.
Вариант 3. Условия при N = 3
| Текущий номер года (t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Трудоемкость 1 т цемента (yi) | 8,2 | 8,6 | 7,8 | 7,2 | 7,5 | 6,8 | 6,1 | 5,2 | 5,4 | 4,7 |
Решение.
Задание 1. Сглаживание ряда Y(t) произведем по простой скользящей средней
Результаты в таблице 1.
| Таблица 1. | |||
| Сглаживание ряда динамики | |||
| t | Факт Y(t) | Скользящая сумма | Скользящее среднее |
| 1 | 8,2 | - | - |
| 2 | 8,6 | 24,6 | 8,20 |
| 3 | 7,8 | 23,6 | 7,87 |
| 4 | 7,2 | 22,5 | 7,50 |
| 5 | 7,5 | 21,5 | 7,17 |
| 6 | 6,8 | 20,4 | 6,80 |
| 7 | 6,1 | 18,1 | 6,03 |
| 8 | 5,2 | 16,7 | 5,57 |
| 9 | 5,4 | 15,3 | 5,10 |
| 10 | 4,7 | - | - |
Задание 2.
Этап 1. Строим две числовые последовательности kt и lt
| t | kt | lt |
| 2 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 1 |
| 8 | 0 | 1 |
| 9 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 1 |
Этап 2. Находим величины
7; 
1 – 6 = -5.Этап 3. Для n = 10 выпишем табличные значения m = 3,858; s1 = 1,288; s2 = 1,964.
Вычисляем
2,44; 
2,55.Этап 4.
Так как расчетные значения ts = 2,44 и td = 2,55 больше табличного значения ta = 2,23, то в данном временном ряду присутствуют тренд и тенденция в дисперсии ряда.
Из таблицы 1 видно, что ряд Y(t) имеет тенденцию к снижению.
Задание 3. Линейную трендовую модель ищем в виде
. Параметры модели а0, а1 найдем, решив систему уравнений 
.n = 10.
Составим расчетную таблицу 2.
| Таблица 2 | |||
| t | y | t2 | yt |
| 1 | 8,2 | 1 | 8,2 |
| 2 | 8,6 | 4 | 17,2 |
| 3 | 7,8 | 9 | 23,4 |
| 4 | 7,2 | 16 | 28,8 |
| 5 | 7,5 | 25 | 37,5 |
| 6 | 6,8 | 36 | 40,8 |
| 7 | 6,1 | 49 | 42,7 |
| 8 | 5,2 | 64 | 41,6 |
| 9 | 5,4 | 81 | 48,6 |
| 10 | 4,7 | 100 | 47,0 |
| 55 | 67,5 | 385 | 335,8 |
Получаем систему
; 
.Получили 1,5а1 = -0,64, а1 = -0,64:1,5 = -0,43; а0 = 6,75 - 5,5а1 = 6,75 - 5,5×(-0,43) = 9,12.
Получили трендовую модель:
.Задание 4.
Оценим качество модели. Для этого найдем расчетные значения Yp(t), подставляя t =1, …, 10 в трендовую модель, найдем отклонения расчетных значений от исходных E(t) = Y(t) - Yp(t). Для исследования модели на адекватность составим таблицу 3.
| Таблица 3. | |||||||||
| Расчетные величины для оценки адекватности модели | |||||||||
| t | Y(t) | Yр(t) | E(t) | k | E(t)2 | E(t)-E(t-1) | (E(t)-E(t-1))2 | E(t)*E(t-1) | IE(t)I:Y(t)*100 |
| 1 | 8,2 | 8,69 | -0,48 | 0,24 | 5,915 | ||||
| 2 | 8,6 | 8,26 | 0,35 | 1 | 0,12 | 0,83 | 0,69 | -0,17 | 4,012 |
| 3 | 7,8 | 7,83 | -0,03 | 0 | 0,00 | -0,37 | 0,14 | -0,01 | 0,321 |
| 4 | 7,2 | 7,40 | -0,20 | 1 | 0,04 | -0,17 | 0,03 | 0,00 | 2,708 |
| 5 | 7,5 | 6,97 | 0,54 | 1 | 0,29 | 0,73 | 0,53 | -0,10 | 7,133 |
| 6 | 6,8 | 6,54 | 0,27 | 0 | 0,07 | -0,27 | 0,07 | 0,14 | 3,897 |
| 7 | 6,1 | 6,11 | -0,01 | 0 | 0,00 | -0,27 | 0,07 | 0,00 | 0,082 |
| 8 | 5,2 | 5,68 | -0,48 | 1 | 0,23 | -0,47 | 0,22 | 0,00 | 9,135 |
| 9 | 5,4 | 5,25 | 0,15 | 1 | 0,02 | 0,63 | 0,40 | -0,07 | 2,87 |
| 10 | 4,7 | 4,82 | -0,12 | 0,01 | -0,27 | 0,07 | -0,02 | 2,447 | |
| S | 67,5 | 67,5 | 0,00 | 5 | 1,01 | 2,22 | -0,22 | 38,520 | |
а) Близость математического ожидания остаточной компоненты нулю.