Экономико математические методы в производстве (стр. 2 из 3)

Обозначим

– спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и – цены на эти товары, т.е. p_i – цена на i – й товар; y_i – спрос на i – й товар.

Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается

выразить через , т.е. , то называется функцией спроса.

Ввиду того, что

, , – n – мерные векторы, равенство можно представить в координатной записи следующим образом: .

Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой классификации товаров с позиции определенного потребителя.

Определим эластичность ε_ij формулой

.

Величина ε_ij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

Например, если ε₂₃=0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.

Эластичность ε_ij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар. Будем считать, что ε_ii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар приводит к снижению спроса на него.

Эластичность ε_ij при

называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

– если |ε_ii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;

– если |ε_ii |

1, то i – й товар называется среднеэластичным;

– если |ε_ii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.

Математически это соответствует выполнению неравенств: ε_ii ‹ 0, ε_ji ‹ 0;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.

Математически это соответствует неравенствам ε_ij › 0, ε_ji › 0.

Таблица эластичностей принимает вид:

товар	первый	второй	третий
первый	= – 0,76	= 0,165	= 0,365
второй	= 0,1375	= – 1,06	= – 1,135
третий	= 0,304	= – 0,15	= – 1,46

Так как |ε₁₁| = 0,76

1, то первый товар малоэластичный;

так как |ε₂₂| = 1,06

1, то второй товар среднеэластичный;

так как |ε₃₃| =1,46

1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку ε₁₂ = 0,165

0 и ε₂₁ = 0,1375 0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε₁₃ = 0, 365

0 и ε₃₁ = 0,304 0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε₂₃ = – 1,135

0 и ε₃₂ = – 0, 15 0, то второй и третий товары взаимодополняемые.

Задание 3

Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

Решение

1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим x₁, x₂,…, x_n. Вся продукция x_i отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на промежуточную Z_i и конечную y_i. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим x_ij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.

(1)

Преобразуем систему уравнений:

(2)

Отношение

называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

Учитывая это, система уравнений примет вид:

(3)

Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

Задание 4

В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Решение

К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:

Поток

Входящий поток обслуженных

требований требований

Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина X с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

.

Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

.

Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.