Статистическое моделирование 2 (стр. 2 из 3)

Задача 2

По данным газеты «Из рук в руки» была сделана мной выборка данных о стоимости квартир на вторичном рынке за определенный период (от 25 мая 2009г). Выборка содержит 20 данных. В качестве факторов, влияющих на стоимость квартир выбрала число комнат (х₁), общая площадь (х₂), жилая площадь (х₃), площадь кухни (х₄). Необходимо построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех качеств. Оценить экономический смысл и значимость полученного уравнения.

1. Вводим данные в таблицу (EXCEL) – столбцы № x₁, х₂, х₃, х₄,y. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу [Приложение1]

0	x1	x2	x3	x4	y
1	1	32	19	6	1200
2	1	36	18	6	1400
3	1	29	16	5	980
4	1	29	16	5	1100
5	2	43	28,8	9	1420
6	2	52	34	10	1950
7	2	45	30	9	980
8	2	46	29	9	1350
9	3	54	38	11	1800
10	4	58	40	12	2500
11	3	50	35	10	1700
12	3	60	38	11	2100
13	4	70	52	16	1750
14	4	70	52	16	2950
15	4	76	49	15	3500
16	4	68	47	14	2400
17	5	145	86	26	5800
18	5	82	65	19	4500
19	5	83	66	20	4000
20	5	130	78	24	6500
Сумма	61	1258	836,8	253	49880
Ср. значение	3,05	62,9	41,84	12,7	2494

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

σ_y =

= 1556,86;

σ_x1 =

= 1,43;

σ_x2 =

= 29,74;

σ_x3 =

= 19,63;

σ_x4 =

= 5,90;

2. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x_4.

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Данные

Анализ данных Корреляция)

Получаем следующий результат:

	x1	x2	x3	x4	y
x1	1
x2	0,847337	1
x3	0,940703	0,964635	1
x4	0,931673	0,968788	0,998364	1
y	0,833719	0,949023	0,930686	0,934761	1

1 столбец матрицы содержит коэффициенты корреляции y с каждым из факторов x. Таким образом, наиболее сильное влияние на стоимость квартиры оказывают факторы x₂;x₃;x₄.

С помощью инструмента Регрессия (Данные

Анализ данных Регрессия) получаем следующие результаты:

Регрессионная статистика

Множественный R

0,951256

R-квадрат

0,904889

Нормированный R-квадрат

0,879526

Стандартная ошибка

554,416

Наблюдения

20

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

4

43865823

10966455,67

35,6775234

1,69079E-07

Остаток

15

4610657

307377,1554

Итого

19

48476480

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-688,384

308,7638

-2,229485916

0,04148909

-1346,49885

-30,2701

x1

67,88611

351,3708

0,193203645

0,84939123

-681,042959

816,8152

x2

39,08366

21,70148

1,800967381

0,09184344

-7,17195183

85,33927

x3

-31,251

130,6937

-0,239116437

0,81425164

-309,817992

247,316

x4

144,2302

404,6624

0,35642105

0,72648905

-718,287253

1006,748

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии:

y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ – 688,38

Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.

- Остаточная дисперсия: σ² = 230532,9.

- Средняя ошибка аппроксимации:

= 19%. Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается плохим, т.к. средняя ошибка аппроксимация превышает 15%.

- Множественный коэффициент корреляции R= 0,951.

- Коэффициент детерминации R² = 0,905. Нескорректированный коэффициент детерминации R² оценивает долю дисперсии стоимости за счет предоставленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 90,5% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации стоимости с вариацией факторов, т.е. на весьма тесную связь факторов со стоимостью.

- Cкорректированный коэффициент детерминации

² = 0,88 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Все четыре коэффициента указывают на весьма высокую 88% детерминированность стоимости y в модели с факторами x₁, х₂, х₃, х₄.

3.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает

-критерия Фишера:

Число наблюдений n =20, число независимых переменных m=4, отсюда

k₁ =4, k₂ =20-4-1 =15.

F_факт. =

= 35,68.

Получили, что F_факт. > F_табл. = 3,06 (при n=20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Таким образом, подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.

4. Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.

Фактические значения t-критерия:

t_x4 = b₄/se₄ = 144,23/404,66 = 0,356;

t_x3 = b₃/se₃ = -31,251/130,694= - 0,239;

t_x2 = b₂/se₂ = 39,08/21,7 =1,80;

t_x1= b₁/se₁ = 67,89/351,4 = 0,193.

Табличное значение критерия при уровне значимости α=0,05 и числе степеней k = 15 составит t_табл = 2,13.

Таким образом, признается статистическая значимость параметра x4, т.к. t_x4>t_табл, и случайная природа формирования параметра x₁,x₂,x₃, t_x1<t_табл, t_x2<t_табл, t_x3<t_табл.

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

-681,04

x₁ 816,82; -309,82 x₃ 247,32;

-7,17

x₂ 85,34; -718,29 x₄ 1006,75.

Выводы:

- Уравнение множественной регрессии

y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ – 688,38.

Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.Множественный коэффициент корреляции R=0,95 указывает на связь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.