Классификация систем массового обслуживания и их основные элементы (стр. 4 из 7)

Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении.

3. Составление уравнений.

Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности

. Одно из уравнения очевидно, a именно для каждогоt

(2)

Найдём сначала вероятность того, что и момент t.+hвсе приборы свободны. Этоможет произойти следующими способами:

· в моментt всеприборыбыли свободны и завремя h новых требований непоступало;

· в моментt одинприбор былзанятобслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за времяh обслуживание требованиябыло завершено иновых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них біла закончена - имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

,

вероятность второго события

.

Таким образом

.

Отсюда очевидным образом приходим уравнению

Перейдём теперь к составлению уравнений для

при 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 и . Пусть в начале 1 . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент t+h. Эти состояния таковы:

В момент t система находилась в состоянии

, за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна:

В момент t система находилась в состоянии

, за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

В момент t система находилась в состоянии

, за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:

Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 1 ;

(4)

Подобные же рассуждения для

приводят к уравнению

(5)

Для определения вероятностей

получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5).Её решение представляет несомненные технические трудности.

4. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для

.Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторыеиз них позднее будутустановлены.В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введём для них обозначения

. Заметим дополнительно, что при

.

Сказанное позволяет заключить, что уравнения(3), (4),(5) для стационарных вероятностейпринимают следующий вид:

(6)

при 1

(7)

при

(8)

К этим уравнениям добавляется нормирующее условие

(9)

Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введём обозначения: при 1

при

Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид:

при

Отсюда заключаем, что при всех

т.е. при 1

(10)

и при

(11)

Введём для удобства записи обозначение

.

Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1

(12)

При

из (11) находим, что

и, следовательно, при

(13)

Остаётся найти

. Для этого в (9) подставляем выражения из (12) и (13). В результате