Применение экономико-математических методов для решения экономических задач (стр. 3 из 5)

Природные условия (условия неопределенности) нередко сказываются на эффективности работы промышленных предприятий.

Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы.[2, 270]

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е1 – выбор размеров из соображений максимальной долговечности ;

Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ;

Ei– промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы :

F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

Fn– условия, обеспечивающие min долговечность;

Fi– промежуточные условия.

Под результатом решения eij = е(Ei ; Fj) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Eiи условиям Fjи характеризующие прибыль, полезность или надёжность.

Тогда семейство (матрица) решений

имеет вид :

F1	F2	. . .	Fn
E1	e11	e12	. . .	e1n
E2	e21	e22	. . .	e2n
. . .	. . . . . . . . . . . . . . . .
Em	em1	em2	. . .	emn

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений

сводится к одному столбцу.

При поиске оптимальных решений, учитывая специфику игр, обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.

1. Минимаксный критерий.

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение этого столбца.

Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj.

2. Критерий Лапласа.

Предположим, что игрок не располагает достоверной информацией об априорных вероятностях состояний природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш

игрока при равенстве всех априорных вероятностей

. Этот прием называется принципом недостаточного основания Лапласа.

Матрица решений

дополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

3. Критерий Сэвиджа.

Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj , j =

) потери в случае выбора варианта Ei.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1) Каждый элемент матрицы решений

вычитается из наибольшего результата maxeij соответствующего столбца.

2) Разности aij образуют матрицу остатков

. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Из критериев становится ясно, что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Для линейного программирования характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, а в частности симплексного метода, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.[2, 260]

Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть

– расход i ресурса на единицу j продукции, – имеющееся количество i ресурса, – прибыль на единицу j продукции, – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу

максимизирующую прибыль

(1)

при ограничениях по ресурсам

, i= 1, …m (2)

где по смыслу задачи

(3)

Решаем задачу симплексным методом, для этого:

1. Приводим задачу к каноническому виду

· максимизируем целевую функцию

· приводим ограничения к виду

· составляем систему уравнений путем введения дополнительных переменных

Если

, то

Если

, то

2. составляем первоначальное решение и таблицу

Базис	План	Свободные переменные					Разрешающий коэффициент
f

3. проверяем полученное решение на оптимальность