6. Символика, которая связала бы с отдельными словами их индексы, не потребовала бы скобок или иных средств с тем, чтобы указывать расчленение ее синтаксически связанных выражений (взаимную принадлежность функторов и их аргументов). Для этого было бы достаточно строго придерживаться той очередности слов, согласно которой определена очередность индексов в характерной последовательности индексов этого выражения. Это значит, что нужно бы таким образом упорядочить слова каждого составного выражения, чтобы они следовали друг за другом по принципу: сначала главный функтор, затем его первый, потом второй и т.д. аргументы.
Например, предложение, записанное в символике Расселла следующим образом:
p.q. --->.r:<->:~ r.q.-->~ p ......................(A) должно было бы согласно этому принципу быть записано так:
1
-------+-------
5 ¦ 3 4 ¦
--+- ----+---- -+-
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
<-> --> . p q r ---> . ~ r q ~ p .............(B)
s s s s s s s s s s
--- --- -- --- --- -- s s -- s
ss ss ss ss ss s s
¦ ¦
L-----------T-------------
2
Назовем функтор n-аргументным, если знаменатель его индекса содержит n индексов. Тогда можно сказать, что выражение A тогда и только тогда является k-ым аргументом n-аргументного функтора F в выражении В, когда: I. из выражения В можно выделить не содержащую пропусков часть T, следующую непосредственно после F с правой стороны, причем показатель этой части имеет тот же вид, что и знаменатель показателя F, II. эту часть Т удается без остатка разложить на n составных частей, не содержащих дальнейших пропусков таким образом, что показатели этих последующих составных частей поочередно те же, что очередные индексы в знаменателе индекса F, III. A является k-ой среди этих последующих составных частей, IV. F и T совместно образуют целое выражение В или член В (если быть точным, это пояснение следовало бы заменить определением по индукции).
Согласно этому пояснению часть выражения В, обозначенная цифрой 3 является первым, часть обозначенная цифрой 4 - вторым аргументом знака импликации, обозначенного цифрой 5 в выражении В, ибо: I. из выражения В можно выделить часть, обозначенную цифрой 1 и не содержащую пропусков, непосредственно связанную с правой стороны с частью, обозначенной цифрой 5, причем показатель обозначенного цифрой 1 выражения имеет тот же вид, что и знаменатель индекса 5, II. часть, обозначенную цифрой 1, можно разделить без остатка на такие две части, которые не содержат пропусков и показатели которых поочередно являются такими же, что и индексы, содержащиеся в знаменателе индекса 5, причем III. часть, обозначенная цифрой 3, является первой, а часть, обозначенная цифрой 4 - второй, и IV.части, обозначенные цифрами 5 и 1 совместно образуют член выражения В.
Преимущество такой символики индексов, благодаря которой оказываются излишними все скобки, может показаться незначительным, если принимать во внимание примеры только предложений пропозиционального исчисления. Для исчисления предложений проф.Лукасевич ввел символику, которая, даже без помощи индексов, не требует никаких скобок либо подобных вспомогательных знаков для сигнализирования состава синтаксически связанных выражений 5).
Возможность устранения скобок без введения индексов в этом случае объясняется тем, что в исчислении высказываний используется небольшое (практически не больше трех) число категорий значения, причем все переменные принадлежат только к одной категории значения, а число постоянных ограничено, благодаря чему категорию значения данного выражения можно отметить посредством выделения какой-то подробности его строения. В этом случае правила построения можно попросту вычислить. Однако когда мы имеем дело с громадным, теоретически не ограниченным числом различных категорий значения, мы вынуждены прибегнуть к тому систематическому способу обозначения различных категорий значения, каковым является наша символика индексов.
Проводимые до настоящего времени исследования относились только к выражениям, не содержащим операторов (см. ниже $ 7). Сейчас мы займемся такими выражениями, в которые входят операторы.
II.
7. Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка, благодаря тому значению, каким оно обладает, можно причислить к определенной категории значения и таким образом снабдить его соответствующим индексом. Все составные выражения можно анализировать по схеме "функторы и их аргументы" только тогда, когда это предположение выполнено. Для некоторых языков это предположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, для некоторых символических языков оно не выполняется. Здесь мы имеем в виду такие языки, в которых используются т.н. операторы. Этот термин охватывает такие знаки, как например, логический знак всеобщности вида "(Пx)" или "(x)", называемый также квантификатором общности 6), затем логический знак существования или частичный квантификатор "(Еx)", затем алгебраический знак суммирования (сигма в пределах от к=1 до n - Б.Д.), знак произведения "П" (в пределах от x=1 до 100 - Б.Д.), знак определенного интеграла (dx от 0 до 1 - Б.Д.) и т.п. Все эти знаки имеют одно общее свойство: они всегда относятся к выражениям, содержащим одну или более переменных и низводят одну или более из них к роли мнимой переменной. Таким образом, если оператор относится, например, к выражению, содержащему только одну переменную, то возникает сложное выражение, имеющее определенное значение.
Так, например, выражения "(Еx).x есть человек", "Ex¤(знак суммирования сигма в пределах от x=1 до 10 - Б.Д.) имеют определенные значения, хотя в них и входят переменные. Благодаря оператору эти переменные становятся мнимыми переменными, или же, говоря иначе, переменными, связанными оператором.
Итак, разложение содержащего оператор выражения на функторы и их аргументы, категории значения которых были бы взаимно согласованы, например, общего предложения "(Пx).fx", кажется, встречается с непреодолимыми трудностями.
Не вникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)" сразу отбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксического строения общего предложения "(Пx).fx", согласно которой в таком предложении оператор "(Пx)" играл бы роль главного функтора, а принадлежащая ему пропозициональная функция - роль его аргумента. Если бы этот синтаксический анализ общего предложения соответствовал действительности, то нужно было бы причислить квантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которые с одним предложением в качестве своего аргумента образуют предложение и таким образом принадлежат к категории s/s. Однако следует заметить, что в экстенсиональной логике функтор типа s/s должен быть истинностнозначным (truth functor). Тем самым пробег его значений должен соответствовать одной из четырех таблиц:
p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p
---+--- ---+--- ---+--- ----+----
0 ¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0
--+--- --+--- --+--- ---+----
1 ¦ 1 1 ¦ 0 1 ¦ 1 1 ¦ 0
¦ ¦ ¦ ¦
Другими словами, если бы квантификатор всеобщности был функтором s/s, то предложение (Пx).fx должно было бы быть эквивалентно либо 1) fx, либо 2) ~fx, либо 3) независимо от x должно было бы быть всегда истинным, либо 4) всегда быть ложно. Однако все эти случаи не соответствуют смыслу, какой связывается с выражением "(Пx).fx". Следовательно, в экстенсиональной логике нельзя понимать оператор "(Пx)" как функтор типа s/s. Однако поскольку этот оператор совместно с предложением "fx" образует предложение, то он не может быть иным функтором.
Однако возникает догадка, что синтаксическое строение общего предложения (Пx).fx может быть также интерпретировано иначе, чем прежде. Может не "(Пx)" является в этом предложении главным функтором, а "fx" - его аргументом, но может знак "П" является главным функтором, а "x" его первым, тогда как "fx" - его вторым аргументом. Тогда следовало бы общее предложение правильно записывать в виде П(x,fx).
Поскольку "x"может принадлежать к разным категориям значения, постольку также и "П" должно было бы быть многозначным в смысле своего типа. Например, если "x" принадлежит к категории предложений, "f" - к категории s/n, то для того, чтобы "П(x,fx)" было предложением "П" должно было бы принадлежать к категории s/ss. В этом случае "П" должно было бы в экстенсиональной логике быть двузначным функтором истинности, а тем самым должно было бы соответствовать одной из 16 известных таблиц для двузначных функторов истинности. Однако можно легко показать, что это также не удается согласовать со значением общего предложения "(Пx).fx".
Таким образом, ни первым, ни вторым способом не удается интерпретировать синтаксическое строение общего предложения согласно схеме функторов и аргументов.
8. Вместо переменной, к которой в утверждаемом предложении относится оператор, нельзя ничего подставлять. Таков смысл того, что переменная является "мнимой" или "связанной". С этой точки зрения совершенно иначе ведут себя функторы.
Таким образом, если несвязывающую роль мы включим в понятие функтора, а связывающую роль - в понятие оператора, то непосредственно увидим, что оператор не может быть причислен к функторам.
Можно было бы привести еще и второстепенное различие между функтором и оператором, а именно то, что функтор может выступать в роли аргумента другого функтора, оператор же никогда не может быть аргументом функтора.
Кроме названных различий существует подобие оператора и функтора. С выражением, к которому оператор относится, он может образовывать обладающее единообразным значением сложное целое так же, как образовывает его функтор со своими аргументами. Тогда можно было бы и для операторов добавить индексы, однако эти индексы нужно было бы отличать от индексов, приписываемых функторам по той причине, что при определении показателя их нельзя трактовать также, как индексы функторов. А именно, поскольку оператор никогда не может быть аргументом, то и его индекс не может соединиться с предыдущим индексом в характерной последовательности индексов или в ее производных, но должен всегда рассматриваться совместно с последующим за ним индексом. Поэтому индекс для операторов мы предлагаем в виде соответствующей дроби с вертикальной чертой с левой стороны. Поскольку квантификатор общности "(Пx)" с предложением образует предложение, тогда он получил бы индекс