¦s
+---.
¦s
Оператору как целостности мы сразу приписываем один индекс, хотя на первый взгляд оператор составлен из нескольких слов. Однако этим мы не нарушаем принципа, по которому индекс с самого начала следует приписывать только отдельным словам, а индексы для составных выражений учитываются только как показатели (т.е. как последние производные последовательностей их индексов), ибо оператор не может трактоваться как выражение, составленное из нескольких слов. В конечном счете оператор является простым выражением, составленным из нескольких литер. Существуют методы записи операторов, в которых это проявляется явно. Так например, проф.Шольц пишет "x" после "(Пx)". Характер оператора как простого выражения проявляется очевидным образом и в обычной записи, когда пишут "(x)" вместо "(Пx)", или "Пx" вместо "(Пx)".
9. Если выражение содержит оператор, то его показатель должен вычисляться иначе, чем это показано выше, поскольку, если бы мы обращались с индексами операторов также, как с индексами функторов, то могло бы случиться так, что индекс оператора слился бы с предшествующим ему индексом, что, как уже упоминалось, недопустимо. Рассмотрим, например, следующее выражение:
F (Пx. x) ..................................(A)
s ¦s n
--- +--
n ¦s
-----
s
---.
s
Если бы мы образовывали его показатель согласно с ранее указанными предписаниями, то получили бы следующие производные:
1) s 2) 3)
---
n ¦s s
----- +--n --- n s
s ¦s n
---.
s
Таким образом мы получили бы индекс всего предложения как показатель, тогда как выражение А, очевидно, является синтаксическим нонсенсом.
Новое правило получения показателя выражения требует с самого начала отдельно трактовать ту часть характерной последовательности индексов, которая начинается с крайней правой вертикальной черты для того, чтобы для той части, которая только в начале имеет индекс с вертикальной чертой, выделить согласно старого правила последнюю производную. При этом индекс с чертой трактуется также, как индекс без черты, т.е. например, вместо
¦s , так же как и вместо
"s ставится индекс "s",
+--s
---s
¦s
s аналогично и в прочих случаях.
Вычислив последнюю производную части последовательности индексов, начинающихся с последней вертикальной черты, вставляем ее вместо этой части во всю последовательность индексов. При этом следует различать два случая. Или при вычислении последней производной части последовательности индексов, отделенной последней вертикальной чертой, индекс, стоящий в ее начале пропал (т.е. при образовании n-ой производной от (n-1)-ой он оказался вместе с последующими после него индексами заменен своим числителем), или нет.
Во втором случае, когда этот индекс не пропадает, мы останавливаемся и считаем всю последовательность индексов, измененную вследствие замены части последовательности индексов, отделенной вертикальной чертой, ее последней производной и эту измененную последовательность считаем последней производной всей характерной последовательности индексов, а тем самым и ее показателем.
В первом случае, когда пропадает последний индекс с вертикальной чертой, начинающий отделенную ею часть последовательности индексов, также и во всей последовательности индексов эта черта пропадает, а число всех вертикальных черт последовательности уменьшается на одну. В таком случае мы продолжаем продвижение согласно этому же предписанию так долго, покамест не придем к какому-то индексу с чертой, который уже не сокращается или же не пропадут все индексы с чертами и мы не придем к последовательности индексов без черт, которую уже больше не удается сократить. Последовательность индексов, являющуюся последней в этой процедуре, мы называем последней производной характерной последовательности индексов исследуемого выражения и его показателем.
Покажем эти новые действия на примере следующего выражения:
(Пfg):.(Пx).f x --> g x: -->: (Пx). f x .-->. (Пx). g x ....(A)
¦ s ¦s s s s s ¦ s s s ¦s s
+--- +-- ---n --- - n --- +--- --- n --- +-- -- n
¦ s ¦s s ss n ss ¦ s n ss ¦s n
характерная этому выражению последовательность имеет вид:
¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s ¦ s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n +-- -- n ....(I)
¦ s ss ¦ s ss n n ss ¦ s n ¦ s n
Сначала получим последнюю производную части, отделенной последней вертикальной чертой:
1) ¦ s s 2) ¦ s 3)
+--- -- n +--s s.
¦ s n ¦ s
Теперь заменим в (I) часть, отделенную последней вертикальной чертой, ее последней производной; таким образом, одной чертой стало меньше. Мы получим:
¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n s ..............(II)
¦ s ss ¦ s ss s s ss ¦ s n
С последовательностью (II) мы поступаем также, как поступили с (I):
¦ s s ¦ s s s s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- ss ........................(III)
¦ s ss ¦ s ss n n ss
К (I) опять применяем ту же процедуру. Таким образом мы ищем последнюю производную части, отделенную в (III) последней вертикальной чертой. Так как эта процедура несколько длиннее, то мы ее приводим:
¦ s s s s s
+--- --- ---n---n --- ss .................................(1)
¦ s ss n n ss
¦ s s s s
+--- ---s ---n --- ss ......................................(2)
¦ s ss n ss
¦ s s s
+--- ---ss --- ss ...........................................(3)
¦ s ss ss
¦ s s
+---s --- ss ..................................................(4)
¦ s ss
¦ s
+---ss..........................................................(5)
¦ s
ss..............................................................(6)
Это значение мы подставляем вместо части, отделенной в (III) последней чертой и получаем:
¦ s s
+--- ---ss....................................................(IV)
¦ s ss
Теперь легко вычисляем последнюю производную этой оставшейся последовательности индексов. Ею является s. Найденная таким образом последняя производная первичной последовательности индексов является показателем выражения (А).
Для примера исследуем еще случай, когда не все индексы с чертами пропадают. Возьмем выражение
(Пx). f x: -->: (Пx). g(x,z) (B)
¦s s s ¦s n
+-- -- n --- +-- ---n n
¦s n ss ¦s nn
характерная ему последовательность индексов имеет вид:
s ¦s s ¦s n
--- +-- -- n +-- ---n n (I)
ss ¦s n ¦s nn
Образуем последнюю производную части, отделенную последней вертикальной чертой. Она имеет вид:
¦s
+--n
¦s
Но при этом не пропал индекс с чертой. С учетом этого обстоятельства мы не опускаем черту и последняя производная I, а тем самым и показатель B имеют вид:
s ¦s s ¦s
--- +-- -- n +-- n.
ss ¦s n ¦s
Таким образом, выражение В не имеет показателя в виде единичного индекса.
Мы познакомились с методом получения показателя выражений, содержащих операторы. Очевидно, что этот метод содержит как частный случай ранее рассмотренный метод, пригодный для выражений без операторов (при его формулировании нужно было бы только вспомнить о "случайно" встречающихся индексах с чертами). Сейчас мы могли бы приведенную ранее дефиницию синтаксической связности повторить дословно и она также была бы обязательна для выражений, содержащих операторы.
10. Понятие синтаксической связности выражений без операторов совпадает с понятием их синтаксической связности. Однако для выражений с операторами к понятию синтаксической связности должно добавиться еще одно условие. Это условие требует, чтобы в аргументе каждого оператора, т.е. в выражении к которому оператор применим 7), каждой переменной, на которую указывает оператор, соответствовала эквиморфная переменная, не связанная внутри этого аргумента. Лишь тогда, когда это условие выполняется, синтаксически связанное выражение, содержащее операторы, является также и синтаксически правильным.
III.
11. Связывающую роль операторов мы посчитали их характерным свойством, отличающей операторы от функторов. Связывание одной или нескольких переменных является общей свойством всех операторов. Кроме этой связующей роли различные операторы играют и другие роли, чем и отличаются между собой. Однако существует оператор, роль которого исчерпывается связыванием одной или больше переменных. Как кажется, таким оператором является знак "^", введенный Расселлом и Уайтхедом. Расселл употребляет этот знак для различения того, что он называет "неопределенным значением функции" от того, что называется "самой функцией". Если "fx" есть символ неопределенного значения функции, то "fx^" представляет саму функцию. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что то, что Расселл называет "неопределенным значением функции" является тем, что где-то в других местах называется "значением зависимой переменной". Зато то, что Расселл называет "самой функцией", не является никакой переменной, но чем-то постоянным. Более глубокое проникновение в замечания, при помощи которых Расселл выясняет понятие "собственно функции", приводит к допущению, что этим определением Расселл хочет ухватить то, что мы назвали бы объективным эквивалентом функтора. Итак, fx^ есть то же, что f, и символы "fx^" и "f" имеют один денотат. Если эта интерпретация верна, то знак "^" можно причислить к операторам, поскольку его роль заключается в "вычеркивании" или "связывании" переменной. Нужно еще вспомнить, что при помощи знака "^" можно одновременно связывать в одном выражении несколько переменных. Так, например, "fx^y^" представляет функтор двух аргументов "f".
В простейших случаях, когда знак "^" ставится над всеми аргументами главного функтора всего выражения, например, в часто используемых примерах "fx^" или "fx^y^", знак "^" действует так же, как черта, которой перечеркивают акцентируемую переменную (т.е. переменную, над которой находится знак "^") и таким образом ее элиминируют. Однако если не все аргументы главного функтора всего выражения акцентированы, то роль знака "^" уже не отождествима c обычным перечеркиванием. Так, например, "p^-->.a.~a" (причем "a" должно быть постоянным предложением) представляет функтор "f" типа s/s, для которого имеет место эквивалентность fp.<-->.p-->.a.~a . Сразу видно, что знак отрицания на месте "f" выполняет эту эквивалентность. Следовательно, "p^-->a.~a" означает то же, что "~". Зато выражение "-->.a.~a", которое можно было бы получить из "p-->.a.~a" посредством перечеркивания буквы "p", не представляет функтор типа s/s и вообще это выражение не является синтаксически связанным.