Принцип Максимума Понтрягина (стр. 2 из 4)
(2.1) 
, где
(2.2) 
При этом предполагается, что моменты to, Т фиксированы, т. е. рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит от времени, фазовые ограничения отсутствуют. Положим
,где
-константа, 
Функция Н называется функцией Гамильтона.
Система линейных дифференциальных уравнений
относительно переменных 
называется сопряженной системой, соответствующей управлению и и траектории х. Здесь 
.>В более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид
, (2.3)Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение
, определенное и непрерывное на всем отрезке 
.Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (2.1).
Теорема (принцип максимума Понтрягина).
Пусть функции
и, Ф, g1, ..., gm имеют частные производные по переменным х1, ..., Хn и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов х 
, и 
U, t [to. Т]. Предположим, что (и, х)-решение задачи (2.1). Тогда существует решение сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению и и траектории х, и константа 
такие, что|
| + || (t) || при t [to, Т], и выполняются следующие условия:а) (условие максимума) при каждом t
[to. Т] функция Гамильтона 
, достигает максимума по 
при v=u (t), т. е.H(x(t), u(t),
=max H(x(t), v(t), (2.4)б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа
, такие, что 
(2.5)в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа
такие, что 
(2.6)Центральным в теореме является условие максимума -(2.4).
Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) заменим условием
и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:
Примеры применения принципа максимума.
1. Простейшая задача оптимального быстродействия.
Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом
(3.1)где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию
.Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные
. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: 
(3.2)Начальное положение
при t0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.
В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==[-1, 1], f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид
Общее решение сопряженной системы
легко выписывается в явном виде
где С, D - постоянные.
Очевидно, что максимум функции Н по и 
U достигается при
Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1 .
2.Определить управление u(t) , которое дает минимум интегралу
, в процессе, описываемом уравнением 
(1). Решение.
Введем дополнительную переменную
(2)Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение
( 
(3)с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x2(T).
Построим функцию Гамильтона
Запишем сопряженную систему
(3)Запишем
Y1(Т)=0 (т.к. с1=0)
Y2(Т)=-1
Из
поэтому Y2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=-aY1x1+Y1u-0,5x12-0,5u2 .По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и Y1 достигает максимума по u :
, 
, откуда 
.Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии
, Y2(Т)=-1, , 
с граничными условиями 
Сведем данную систему к одному уравнению относительно U.
