Принцип Максимума Понтрягина (стр. 3 из 4)
Добавим к этому уравнению граничные условия
и решим его. Составим характеристическое уравнение к2 - (а2+1) =0, к1,2=+(-) 
Найдем С1 и С2. 
С2=-с2е
. Тогда 
Используя граничные условия найдем С2
Таким образом, определено оптимальное решение
Примеры применения принципа максимума.
1. Простейшая задача оптимального быстродействия.
Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом
(3.1)где х - координата. Требуется найти управление и, переводящее точку из начального положения в начало координат за минимальное время Т (задача оптимального быстродействия). При этом скорость точки в конце траектории должна быть нулевой, а управление - удовлетворять условию
.Применим к сформулированной задаче принцип максимума Понтрягина . Введем фазовые переменные
. Тогда движение управляемого объекта описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка: 
(3.2)Начальное положение
при t0=0 и конечное положение (0, 0) фиксированы, а конечный момент времени Т не фиксирован.
В обозначениях п.п. 1, 2 в данной задаче U ==[-1, 1], f0=1, Ф=0, а функция Гамильтона имеет вид
Общее решение сопряженной системы
легко выписывается в явном виде
где С, D - постоянные.
Очевидно, что максимум функции Н по и 
U достигается при
Таким образом, оптимальное управление и может принимать лишь два значения +1 .
2.Определить управление u(t) , которое дает минимум интегралу
, в процессе, описываемом уравнением 
(1). Решение.
Введем дополнительную переменную
(2)Для этой переменной имеем дифференциальное уравнение
( 
(3)с начальными условиями, получаемыми из (2), т.е. х2(0)=0. Минимизирующий функционал, используя (2), можно записать в виде I[T]=x2(T).
Построим функцию Гамильтона
Запишем сопряженную систему
(3)Запишем
Y1(Т)=0 (т.к. с1=0)
Y2(Т)=-1
Из
поэтому Y2(е)=-1. Теперь функция Гамильтона запишется в виде H=-aY1x1+Y1u-0,5x12-0,5u2 .По принципу максимума функция Н при фиксированных х1 и Y1 достигает максимума по u :
, 
, откуда 
.Осталось решить систему уравнений (2) и (3) при условии
, Y2(Т)=-1, , 
с граничными условиями 
Сведем данную систему к одному уравнению относительно U.
Добавим к этому уравнению граничные условия
и решим его. Составим характеристическое уравнение к2 - (а2+1) =0, к1,2=+(-) Найдем С1 и С2. С2=-с2е
. Тогда Используя граничные условия найдем С2
Таким образом, определено оптимальное решение
О методах решения задач оптимального управления
Убедимся вначале, что необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума дают, вообще говоря, достаточную информацию для решения задачи оптимального управления (2.1), (2.2).
Условие максимума (2.4) позволяет, в принципе, найти управление и как функцию параметров х, t,
(2.7)Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(2.8)объединяющюю систему уравнений движения объекта и сопряженную систему.
Как известно, общее решение системы (2.8), состоящей из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, зависит от 2п параметров. Кроме того, система необходимых условий оптимальности содержит т параметров
и параметр y0. Таким образом, общее число неизвестных равно 2n+m+1.Для их определения мы имеем 2п условий (2.5), (2.6) и т условий (2.2). Еще одно условие определяется из следующих соображений.
Легко понять, что, в силу линейности функции Н по переменным принцип максимума Понтрягина определяет вектор (
) с точностью до положительного постоянного множителя. Поэтому если в конкретной задаче удается показать, что 
, то полагают обычно 
== - 1. В противном случае накладывают какое-либо условие нормировки, например, 
Таким образом, общее число условий равно 2n+m+1 и совпадает с числом неизвестных параметров, что, в принципе, позволяет определить эти параметры. Изложенные соображения дают возможность в простейших случаях решить задачу оптимального управления в явном виде.
Опишем численный метод, основанный на тех же соображениях. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2.8) с краевыми условиями (2.5), (2.6), а также выписанными на основе (2.2) краевыми условиями
(2.9)Эта задача называется краевой задачей принципа максимума.