Принцип Максимума Понтрягина (стр. 1 из 4)
Постановка задачи оптимального управления.
Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени
Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс.
От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция
. Векторы x' и u' , обычно связаны между собой каким-то соотношением. Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений.И так, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений
(1.1)где
- вектор координат объекта или фазовых координат, 
- заданная вектор-функция, 
- вектор управлений или просто управление.В уравнении (1.1) векторы
являются функциями переменной t, обозначающей время, причем 
, где 
- отрезок времени, на котором происходит управление системой. На управление обычно накладывается условие
, (1.2)где U(t) - заданное множество в
при каждом . Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке
(т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r--мерную вектор-функцию и, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке Т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2). Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д.
Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2).
Покажем, как при произвольном начальном положении
и допустимом управлении и определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши 
(1.3)Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом.
Пусть функция и имеет скачки в точках
причем 
. Предположим, что задача (1.3) имеет решение х, определенное на всем отрезке [to, 
], причем 
. Далее рассмотрим задачу Коши 
.Предполагая, что она имеет решение на отрезке [
] и 
,приходим к задаче и т. д.Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [to. Т], то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению и. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке
равенству 
При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению и, существует и единственно при произвольном начальном положении
и произвольном допустимом управлении и.Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты
(1.4)Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:
(1.5)
здесь
, S (Т) - заданные множества из R"; 
-заданные множества из R, причем inf 
< sup 
, to<.T.Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы. Случаю фиксированных to, Т соответствуют множества
, , состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем.Если So (to) = {
} при любом 
,то левый конец траектории называют закрепленным. Если же So (to) == R" при всех , то левый конец траектории называют свободным. Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным. В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории.Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала на множестве допустимых наборов.
Если каждой функции y=f(x) определенного класса ставится в соответствии по некоторому закону определенное числовое значение переменной I, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной I=I[y]=I[y(x)]=I[f(x)].
Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал
Мы будем рассматривать задачу с целевым функционалом
(1.6)представляющим собой сумму интегрального функционала
и терминального
функционала Ф(х(Т), Т). Эта задача называется задачей Больца. Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задача с терминальным функционалом, называемая задачей Майера. Задача с интегральным функционалом при
называется задачей оптимального быстродействия.Набор (to, Т, х
, и, х), минимизирующий функционал (1.6), называется решением задачи оптимального управления, управление и - оптимальным управлением, а траектория х - оптимальной траекторией. Часто решением задачи оптимального управления называют пару (ц, х).Принцип максимума Понтрягина.
Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах.
Формулировка принципа максимума.
Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше