Типовой расчет по теоретической механике

ЗаданиеД-1

Дано:

Найти:

и уравнениетраекториина участке BC.

Решение:

1. Рассмотримдвижение телапринимаемогоза материальнуюточку на участкеAB

   .

Покажем силыдействующиена тело:

-сила тяжести, -нормальнаяреакция поверхности, -сила трения.

Знаем:

В проекцияхна оси

и имеем:

Так как телодвижется вдольоси

,то проекцииперемещенияскорости иускорения наось равны 0, тогдауравнение принимает вид:

,откуда

Знаем:

У нас:

Учтём

в уравнение

или

,где -постояннаявеличина

Интегрируемуравнение

или

т.е.

Для определенияпостоянныхинтегрирования

и запишем начальныеусловия движениятела на участкеAB. При в положенииА имеем:

Подставимначальныеусловия в уравнения

и получим:

,откуда

,откуда

Запишем уравнение

и с учётом постоянныхинтегрирования и

В положенииB, при

имеем:

Запишем уравнение

при

2. Рассмотримдвижение телана участке BC

   ,T – времядвижения телаот B до C

Знаем:

В проекцияхна оси имеем:

или

,т.е.

или

или

,т.е.

Для определенияпостоянныхинтегрирования

запишем начальныеусловия движенияна участке BC.

При

в положенииB:

Подставим этиначальныеусловия в уравнения

:

Запишем уравнения

с учётом найденныхпостоянныхинтегрирования:

В положенииС при

:

Из

выражаем t:

Подставим в

:

Ответ:

ЗаданиеД-10-2

Дано:

Определить:

Решение:

Применим теоремуоб изменениикинетическойэнергии системы:

где

и T – кинетическаяэнергия системыв начальноми конечномположениях;

–сумма работвнешних сил,приложенныхк системе, наперемещениисистемы изначальногоположения вконечное;

– сумма работвнутреннихсил системына том же перемещении;

т.к. системасостоит изабсолютнотвёрдых тел,соединяющихнерастяжимыминитями и стержнями,то

,т.к. в начальномположениисистемы находитсяв покое, то ;

Тогда уравнение

принимает вид:

Вычислимкинетическуюэнергию системыв конечномположении:

Кинетическаяэнергия груза1, движущегосяпоступательно:

Кинетическаяэнергия блока2, совершающеговращательноедвижение:

Кинетическаяэнергия катка3, совершающегоплоское движение:

т.к.

тогда формула

приобретаетследующий вид:

Определимсумму работвсех внешнихсил, приложенныхк системе, незаданномперемещением:

Работа силытрения

:

Работа силытрения

:

Работасилы тяжести

:

Определим, накокой уголповернётсякаток 3 припрохождениигрузом 1 расстоянияS:

Работапары сил сопротивлениякачания тела3:

где

Силы

(т.к. сила приложена вмгновенномцентре скоростей)работы не совершают.

Поэтому

Приравниваемзначения Tи

:

ЗаданиеК-1

Тема: «Определениескорости иускорения точкипо заданнымуравнениямеё движения»

Дано:

Решение:

1. Уравнениядвижения (1) и(2) являютсяпараметрическимиуравнениямитраекториидвижения точкиМ. Чтобы получитьуравнениетраекториив координатнойформе, исключимвремя tиз уравнений(1) и (2).

Из уравнения(2):

подставим вуравнение (1),получим

Это уравнениепараболы.

2. Построимпараболу поточкам, значениякоторых приведеныв таблице:

y	-10	-8	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10
x	3,531	2,979	2,551	2,245	2,061	2	2,061	2,245	2,551	2,979	3,531

3. Найдёмположениеточки М приt=0

Это точка

(2;0)

Найдём положениеточки М при

Это точка

(2,75;-7)

4. Модуль скорости

   где
   

при

поэтому покажем из в направленииположительногоотсчёта осиx.

поэтомупокажем из точки в отрицательномнаправлениеоси y.Итак, при

Масштаб

:1 см - 2 см/с

5. Определяемускорение,которое имеетточка, движущаясяпо параболе.

где поэтому покажем в направленииположительногоотсчёта осиxих точки

Аналогично

Итак, при

Масштаб

:1 см - 2 см/

6. Знаем:

   при
   

значит движениеточки ускоренное,поэтому покажем в сторону вектора

7. Полное ускорение

   откуда
   

при

покажем източки по нормали ктраектории.

8. Знаем:

   где
   -радиус кривизнытраекториив точки
   

при

Из точки

вдоль нормалиnотложим и получим точку –центр кривизныпараболы вточке

Координатыточки, а такжееё скорость,ускорение иих проекциина координатныеоси для

приведены ниже

координаты,см		скорость,см/с			ускорение,см/					радиускривизны, см
x	y
2,75	-7	3	-14	14,32	6	0	6	1,257	5,867	34,95

ЗаданиеК-4

Дано:ОА=35 см, АВ=65 см,r=15 см,

Найти:

Решение:

Ответ:

т. Р– полюс звена2

т.Р` – полюс звена3

ЗаданиеС-7-22

Тема:Определениереакций опортвёрдого тела.

Дано:

Определить:все реакцииопор конструкции(в нашем случаереакции цилиндрическихшарниров А иВ и стержняCD)

Решение:

1. Предположим,что реакцииподшипниковбудут направленыследующимобразом

   реакция стержня
   вдоль DCкверху.

2. Спроецируемвсе силы системына соответствующиеоси координат.

где направлениедругих реакцийсм. выше.

3. Составим уравнениеравновесиясил системы:

а)

или

б)

вдоль оси никаких взаимодействийне происходит

в)

4. Т.к. неизвестныхпока большечем уравнений=> составимуравненияравновесиямоментов силсистемы:

г)

д)

т.к. направление было выбрановерно.

е)

5. Зная

   найдём
   из е) :
   
   т.к.
   истинное направление
   противоположновыбранному.

Зная

и найдём из а) : направление противоположновыбранному.

Найдём

из г) : т.к. направление выбрано верно.

Зная

найдем из в) : т.к. направление выбрано верно.

6. Т.к.

   

Т.к.

Проверка:

Для проверкивыберем новуюсистему координатс центром вточке

( точка приложениясилы G) иосями соноправленнымисо старыми (см.рисунок)

=> реакция

; и -найдены верно.

=>реакция

и -найдены верно.

ЗаданиеС-2

Тема:«Определениереакций опорсоставнойконструкции»

Дано:

Определить:Все реакцииопор (в нашемслучае в неподвижномшарнире А и вподвижномшарнире В). Трениемпренебрегаем.

Решение:

1. Предположим,что реакциишарнира будутнаправленыследующимобразом:

   перпендикулярновверх,
   горизонтальновправо (см. рис.),а реакция подвижногошарнира В
   направленаперпендикулярновверх.

2. Рассчитаемрезультирующеераспределениенагрузки

   

приложенак балке подцентром тяжестиэпюры (т.е. посерединеАС)

3. Введём системукоординат сосями

   и
   причём
   ;
   ;теперь спроецируемвсе имеющиесяв системе силына выбранныеоси: (сила скользирующийвектор)

, , ,

, ,

4. Составимуравнениеравновесиясистемы сил.Для равновесияпроизвольнойплоской системысил необходимои достаточно,чтобы суммыпроекций всехсил на оси координатбыли = 0, а такжесумма моментоввсех сил относительнокакой-либоточки плоскостибыла = 0.

5. В нашей системе3 неизвестных=> составимуравнениеравновесиямоментов силсистемы. Дляпростоты выберемза моментнуюточку пересечениялиний действия

   и
   т.е. точку А.

(Против часовойстрелки берёмс плюсом, посминусом)

,т.к. значение направлениевыбрано правильно

6. Теперьподставимзначение

   в уравнения1 и 2

,т.к. направлениебыло выбраноправильно.

, истинное направлениепротивоположновыбранному.

Проверка:

Для проверкинужно составитьуравнениемоментов, причёмчерез моментнуюточку не должныпроходить линиидействия реакций=> Возьмём замоментную точкуN (N находится налинии действия

за 1 м от СА)

; ,т.к. результатполученныйпри сложениимоментов силпогрешность.