примерный перечень экзаменационных вопросов
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- Математическая модель и ее погрешности.
- Представление чисел в ЭВМ. Работа компьютера с плавающей или фиксированной точкой.
- Виды погрешности: неустранимая, численного метода, вычислительная, абсолютная, относительная.
- Значение цифры числа. Верная значащая цифра числа.
- Вычисление абсолютной и относительной погрешностей суммы (разности) двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
- Определение абсолютной и относительной погрешностей произведения двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
- Определение абсолютной и относительной погрешностей при делении двух чисел, если известны погрешности каждого числа.
- Устойчивые и неустойчивые задачи по исходным величинам.
- Корректно поставленная задача.
- Системы линейных уравнений. Их математическая запись. Расширенная матрица. Геометрический смысл умножения матрицы на вектор. Эквивалентные преобразования.
- Прямые и итерационные методы решения системных уравнений.
- Какую матрицу называют диагональной, единичной, верхней или нижней треугольной, симметричной, ленточной, трехдиагональной?
- Какую матрицу называют хранимой, воспроизводимой?
- Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- Представление исходной матрицы системы уравнений в виде произведения двух треугольных матриц. Модификация метода Гаусса.
- Обусловленность систем линейных уравнений.
- Итерационный метод решения систем линейных уравнений. Выбор начального приближения.
- Приведение системы к виду, удобному для итераций.
- Метод простой итерации.
- Метод Зейделя.
- Сформулируйте достаточные условия сходимости методов простой итерации и Зейделя.
- В чем заключается метод верхней релаксации для ускорения сходимости итерационных методов?
- Определение обратной матрицы А-1 к матрице А и определителя матрицы А численным методом.
- Собственные значения и собственные векторы матрицы. Их геометрический смысл. Собственные значения симметричной матрицы.
- Что называется характеристическим многочленом матрицы?
- Чем отличается полная проблема собственных значений от частичной проблемы собственных значений?
- Какая существует связь между собственными значениями матрицы A и обратной ей матрицы A-1?
- Как степенным методом определить наименьшее собственное значение матрицы A?
- В чем заключается степенной метод нахождения максимального собственного значения матрицы A и соответствующего ему собственного вектора?
- От чего зависит скорость сходимости степенного метода нахождения максимального собственного значения матрицы A?
- Особенности решения нелинейных задач на примере одного уравнения.
- В чем заключается отделение корней нелинейного уравнения F(x) = 0?
- Что называется порядком сходимости итерационного метода решения одного нелинейного уравнения?
- Что называется погрешностью приближенного значения xk для корня x* нелинейного уравнения?
- Как оценить погрешность приближенного решения xk для нахождения корня нелинейного уравнения F(x) = 0, если известно минимальное значение производной F'(x) на отрезке [a, b]?
- Что называется областью притяжения корня для итерационного метода решения нелинейного уравнения?
- Что называется двусторонним приближением для нахождения корня нелинейного уравнения?
- Какой итерационный процесс называется монотонно сходящимся?
- Какой итерационный процесс называется колеблющимся для нахождения корня нелинейного уравнения? В чем его достоинство?
- При каких условиях сходится метод половинного деления для нахождения корня уравнения F(x) = 0?
- Перечислите достоинства и недостатки метода половинного деления для решения нелинейного уравнения F(x) = 0.
- В чем заключается метод простой итерации для решения нелинейного уравнения F(x) = 0?
- Сформулируйте достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- Какой порядок сходимости имеет метод простой итерации? Приведите соответствующее неравенство.
- Сформулируйте принцип сжатых отображений для функции одной переменной.
- Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Его геометрическая интерпретация. Достаточное условие сходимости.
- Приведите неравенство, связывающее погрешности на двух последовательных итерациях метода Ньютона нахождения корня нелинейного уравнения. Каков порядок сходимости этого метода?
- Приведите условия Фурье для функции F(x) при решении нелинейного уравнения F(x) = 0. Где они используются?
- В чем заключается метод секущих для решения нелинейного уравнения F(x) = 0?
- В чем заключается комбинированный метод хорд и касательных для нахождения корня нелинейного уравнения F(x) = 0?
- Приведите расчетные формулы метода простой итерации для решения системы нелинейных уравнений.
- Приведите какое-либо достаточное условие сходимости метода простой итерации для решения системы нелинейных уравнений.
53. В чем заключается метод Ньютона решения системы нелинейных уравнений?
- Аппроксимация функций. В каких случаях она необходима?
- Точечная и непрерывная аппроксимации.
- Многочисленное приближение и его преимущество.
- Тригонометрические многочлены.
- Интерполирование функции. Интерполяционный многочлен.
- В чем заключается критерий близости двух функций f(x) и φ(x) при среднеквадратичном приближении?
- Что называется сплайн-интерполяцией?
- Что называется наилучшим равномерным приближением функции f(x) на отрезке [ a, b ]?
- В чем заключается линейная интерполяция?
- В чем заключается различие локальной и глобальной интерполяции?
- Приведите общий вид интерполяционного многочлена Лагранжа.
- Что называется разностной схемой при численном решении обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей?
- В чем заключается квадратичная интерполяция?
- Первые и вторые разности таблично заданной функции с постоянным шагом аргумента.
- Выведите формулу линейной интерполяции, взяв первые два члена интерполяционного многочлена Ньютона.
- Чему равна погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа?
- В чем заключается явление Рунге при многочленной интерполяции с равномерно расположенными узлами?
- В чем заключается различие степенных разложений Тейлора от степенных разложений Чебышева?
- Как вычисляются многочлены Чебышева с помощью рекурентных соотношений?
- Почему многочлен Чебышева называется наименее уклоняющимся от нуля?
- В чем отличие ошибок, получаемых при среднеквадратичном и чебышевском равномерном приближении?
- Какой вид имеет квадратурная формула прямоугольников для вычисления определенного интеграла?
- Что называется численным интегрированием при вычислении определенного интеграла?
- В каких случаях для вычисления определенного интеграла приходится использовать формулы численного интегрирования?
- Что называется квадратурной формулой для приближенного вычисления определенного интеграла?
- Что называется составной квадратурной формулой?
- Напишите квадратурную формулу метода прямоугольников для вычисления определенного интеграла.
- Напишите составную квадратурную формулу метода прямоугольников для вычисления определенного интеграла.
- Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода прямоугольников при вычислении определенного интеграла?
- Приведите квадратурную формулу метода трапеций для вычисления определенного интеграла.
- Приведите составную квадратурную формулу метода трапеций для вычисления определенного интеграла.
- Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода трапеций при вычислении определенного интеграла?
- Приведите квадратурную формулу метода Симпсона для вычисления определенного интеграла.
- Приведите составную квадратурную формулу метода Симпсона для вычисления определенного интеграла.
- Какую погрешность имеют квадратурные формулы метода Симпсона при вычислении определенного интеграла?
- Что называют квадратурными формулами Ньютона – Котеса?
- В чем заключается главная идея метода Гаусса для задачи численного интегрирования?
- В чем заключается метод Рунге повышения точности численного интегрирования?
- Как получить уточнение по методу Рунге при использовании метода Симпсона для вычисления определенного интеграла?
- Что называют адаптивными алгоритмами при решении задачи численного интегрирования?
- Приведите конечно-разностные выражения для первой производной.
- Что понимается под термином численное дифференцирование?
- Что называется порядком погрешности аппроксимации производной? Приведите примеры погрешности разных порядков.
- Приведите конечно-разностное выражение для второй производной, использующее центральную разность.
- Приведите конечно-разностное выражение для первой производной в граничной точке со вторым порядком точности.
- Как использовать правило Рунге для получения уточненного значения производной?
- В чем заключается метод конечных разностей решения обыкновенных дифференциальных уравнений?
- Дать определение первых и вторых конечных разностей для таблично заданной функции.
- Какие уравнения называются разностными? Что называется порядком разностных уравнений?
- Приведите примеры разностных уравнений первого и второго порядка, в которые входят сеточные функции.
- Линейное разностное уравнение n-го порядка и его общее решение.
- Однородные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение.
- Что называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения? Приведите пример.
- Что называется краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения? Приведите пример.
- В чем заключается метод конечных разностей для решения обыкновенного дифференциального уравнения?
- Что называется разностной схемой для решения обыкновенного дифференциального уравнения?
- Какая разностная схема называется устойчивой?
- Разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение и дополнительные условия. Что это означает?
- В каком случае решение, получаемое по разностной схеме, сходится к решению дифференциальной задачи?
- Какая разностная схема для решения задачи Коши называется явной?
- Какой разностный метод решения задачи Коши называется одношаговым?
- Какой разностный метод решения задачи Коши называется многошаговым?
- Какой разностный метод решения задачи Коши называется неявным?
- Опишите метод Эйлера для решения задачи Коши .
- Какой порядок имеет локальная и глобальная погрешность метода Эйлера?
- Приведите формулы метода Эйлера с пересчетом для решения задачи Коши .
- Приведите формулы метода Рунге – Кутта для решения задачи Коши .
- Что включает в себя полная постановка задачи для уравнений в частных производных?
- Какие задачи для уравнений в частных производных называются стационарными, а какие – нестационарными? Какие дополнительные условия надо для них задать?
- Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- В чем заключается метод сеток для решения уравнений в частных производных?
- Приведите конечно-разностные формулы для частных производных в произвольной точке (i, j) сетки с помощью центральных разностей.
- В чем заключается аппроксимация дифференциальной задачи разностной схемой?
- Какая разностная схема для уравнений в частных производных называется устойчивой?
- При каких условиях решение разностных уравнений сходится к решению уравнений с частными производными с соответствующими им дополнительными условиями?
- Напишите явную разностную схему для уравнения теплопроводности и опишите ее свойства.