Анализ типового радиотехнического звена (стр. 2 из 3)

.Двумя слагаемыми, соответствующими составляющим спектра, не пропускаемым фильтром, из-за малости пренебрегаем. Рабочее выражение для энергетического спектра приобретает вид:

(2.11)

График спектра мощности сигнала на выходе первого фильтра показан на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 Спектр мощности сигнала на выходе первого фильтра.

Корреляционная функция сигнала на выходе первого линейного фильтра, согласно (2.2), находится как обратное преобразование Фурье от энергетического спектра и вычисляется следующим образом:

Вычислим каждый интеграл отдельно. По свойству дельта – функции, она отлична от нуля только тогда, когда аргумент равен нулю. Используя это свойство, найдем третий и четвертый интегралы:

Первый и второй интегралы вычислим при помощи теории вычетов. По основной теореме о вычетах известно, что если функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области, за исключением конечного числа изолированных особых точек, то ее интеграл по замкнутому контуру g, лежащему в этой области, равен сумме вычетов, соответствующих особым точкам, охваченным этим контуром.

Для первого и второго интегралов получаем:

Перейдя в интегралах к комплексной частоте

и заменив линейное интегрирование в бесконечных пределах интегрированием по замкнутому контуру, получим первый интеграл:

.

Подынтегральная функция имеет следующие особые точки:

.

Мы будем замыкать контур в верхней полуплоскости, и потому накладываем ограничение

. Тогда в контур попадет один полюс :

.

Значение интеграла

определяется, согласно теории вычетов [1], следующим образом:

.

Аналогично получим второй интеграл:

.

В сумме имеем

Если бы мы замкнули контур интегрирования в нижней полуплоскости, то получили бы те же самые выражения при условии

. Объединяя оба случая, получаем модуль в окончательном выражении:

(2.12)

Огибающая корреляционной функции сигнала на выходе первого линейного фильтра изображена на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 Огибающая корреляционной функции сигнала на выходе первого фильтра.

Легко заметить, что фильтр обрезал спектр белого шума “окрасив” его, и сохранил спектр полезного сигнала. В этом и состоит избирательность фильтра.

Поскольку случайный процесс на выходе первого линейного фильтра содержит квазидетерминированную составляющую, то пользоваться выражениями (2.3) и (2.4) для получения математического ожидания и дисперсии нельзя. Тогда учтем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. Пользуясь выражением (2.3), получим математическое ожидание шумовой составляющей

. Математическое ожидание сигнальной составляющей вычислим по определению

Суммарное математическое ожидание

, и дисперсию всего отклика находим по формуле:

.

Используя формулы (2.6) и (2.7) для шумовой составляющей

и , время корреляции и эффективную полосу процесса на выходе первого линейного фильтра (для этого процесса так как ) определяю соответственно следующим образом:

,

.

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

Рисунок 2.7 Зависимость дисперсии процесса на выходе первого линейного фильтра от его полосы пропускания.

Рисунок 2.8 Зависимость времени корреляции процесса на выходе первого линейного фильтра от его полосы пропускания.

2.3 Анализ прохождения сигнала через нелинейный элемент (НЭ)

Нелинейный элемент представляет собой двухполупериодный квадратичный детектор с характеристикой

Корреляционная функция отклика нелинейного элемента – это математическое ожидание произведения двух значений отклика НЭ в два различных момента времени

. Учитывая, что для гармонического колебания с равномерно распределенной фазой и нормального шума с нулевым средним все нечетные моменты равны нулю, получаем корреляционную функцию отклика НЭ в следующем виде:

,

где

,

,

.

Различные слагаемые выражения для корреляционной функции характеризуют взаимодействие на нелинейности сигнала с собой, шума с собой, а также взаимодействие сигнала и шума. Согласно [1], корреляционная функция отклика детектора при воздействии суммы узкополосного сигнала

и стационарного нормального шума с

определяется выражением:

. (2.13)

Подставив в (2.13) выражения для сигнальной и шумовой составляющих, получаем:

(2.14)

Математическое ожидание и дисперсию отклика НЭ получим аналогично нахождению математического ожидания и дисперсии первого линейного фильтра:

,

.

Спектр мощности на выходе НЭ находится как прямое преобразование Фурье от корреляционной функции отклика по формуле (2.1) и имеет вид, показанный на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 Спектр мощности на выходе нелинейного элемента.

Поскольку второй линейный фильтр – фильтр нижних частот (ФНЧ),

то составляющие корреляционной функции отклика, соответствующие второй гармонике несущей частоты, можно отбросить. Укороченная (низкочастотная составляющая) корреляционная функция отклика НЭ имеет следующий вид:

(2.15)

Берем прямое преобразование Фурье от укороченной корреляционной функции и получаем низкочастотную составляющую спектра мощности на выходе НЭ:

(2.16) Графики низкочастотной составляющей спектра мощности на выходе НЭ и соответствующей ей составляющей корреляционной функции приведены ниже.

Рисунок 2.10 Огибающая корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента.

Рисунок 2.11 Низкочастотная составляющая спектра мощности сигнала на выходе нелинейного элемента

На основании выражений

и , а также (2.6) и (2.7) время корреляции и эффективная полоса низкочастотной составляющей процесса на выходе НЭ определяется следующим образом: