Метод Галеркіна пошуку розв’язку лінійної крайової задачі (стр. 2 из 4)

то

при

Доведення. Розглянемо ряд Фур’є функції

відносно заданої системи ортогональних функцій

(4)

Як відомо, коефіцієнти Фур’є

визначаються за формулою

де

В силу умови (3) маємо

(n = 0, 1, 2, . . .). (5)

Для повної системи

у відношенні до будь-якої неперервної функції виконана рівність повноти

(6)

Звідси, враховуючи рівність (5), маємо

і, отже,

при

Зауваження. З формули (4) випливає, що якщо неперервна функція

ортогональна до кінцевої системи функцій

(тобто то

при достатньо великому N. В цьому випадку функція

в середньому на відрізку [a, b] буде як завгодно малою. При додаткових обмеженнях звідси випливає, що також малий на відрізку

Перейдемо до викладу метода Галеркіна. Нехай маємо лінійну крайову задачу

(7)

де

при наявності лінійних крайових умов

(8)

Оберемо кінцеву систему базисних функцій

( = 0, 1, . , n), що складають частину деякої повної системи, причому потурбуємося, щоб функція задовольняла неоднорідні крайові умови

а функції

( = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам

( = 1, 2, . . . , n).

Розв’язок крайової задачі (7) – (8) будемо, як звичайно, шукати у вигляді

(9)

При нашому підборі базисних функцій

функція , що визначається формулою (9), очевидно, задовольняє крайовим умовам (8) при будь-якому виборі коефіцієнтів . Вираз (9) підставимо у диференціальне рівняння (7), що дає нев’язність

Для точного розв’язку у нашій крайовій задачі функція

; тому для отримання наближеного розв’язку, близького до точного, нам вигідно підібрати коефіцієнти так, щоб функція була в якомусь сенсі малою.

Згідно методу Галеркіна вимагаємо, щоб нев’язність

була ортогональною до базисних функцій ( = 1, 2, . . . , n), що при достатньо великому числі цих функцій, в силу наведеного вище зауваження, забезпечує малість нев’язності в середньому.

Наскільки цей наближений розв’язок близький до точного, в загальному випадку питання залишається відкритим. Таким чином, для визначення коефіцієнтів

( = 1, 2, . . . , n) приходимо до системи лінійних рівнянь

або, більш детально,

(10)

(

= 1, 2, . . . , n).

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1. Алгоритм методу

1.Визначаємо з даного диференціального рівняння другого порядку функції

.

2. Обираємо систему базисних функцій

( = 0, 1, . . . , n) так, щоб функція задовольняла крайовим умовам: а функції ( = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам ( = 1, 2, . . . , n).

3. Знаходимо

( = 0, 1, 2, 3, 4).

4. Використовуючи позначення

,

обраховуємо коефіцієнтисистеми:

( = 1, 2, . . . , n).

5. Виконуючи необхідні скорочення приходимо до системи з якої визначаємо

( = 1, 2, . . . , n) і отримуємо розв’язок вигляді:

.

2.2. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ

Метод Галеркіна

Ні

Так

Ні

Так