УКООПСПІЛКА
Полтавський університет споживчої кооперації України
КУРСОВИЙ ПРОЕКТ
з дисципліни ”Чисельні методи”
на тему:
Метод Галеркіна пошуку розв’язку лінійної крайової задачі
Захищена на Виконав студент групи СІ-31
„_______________” спеціальності „Соціальна інформатика”
„____” _____________200_ р. Буцький Владислав Володимирович
Полтава – 2007
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1. Теоретична частина
1.1. Постановка задачі
1.2. Математична модель
РОЗДІЛ 2. Практична частина
2.1. Алгоритм методу
2.2. Блок-схема алгоритму
2.3. Тестовий приклад
ВИСНОВОК
СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ
Додаток А
Вступ
В зв’язку з потребами нової техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точне розв’язання яких досить складне або невідоме. В цих випадках зазвичай вдаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу набули за останні роки широкого розвитку і отримали виключно важливе значення.
Зростання продуктивних сил в ХХ сторіччі зумовило рішучий прогрес в області обчислювальної техніки, що привів до створення сучасних електронних обчислювальних машин з пограмним управлінням. Це необмежено розширило обчислювальні можливості математики: задачі, для вирішення яких при ручному обрахунку були потрібні роки, зараз розв'язуються за декілька годин, причому безпосередній обрахунок займає хвилини. У свою чергу, нові обчислювальні засоби викликали переоцінку відомих методів розв’язання задач з погляду доцільності їх реалізації на сучасних обчислювальних машинах і стимулювали створення більш ефективних прийомів.
Сучасні електронні обчислювальні машини дали в руки дослідників ефективний засіб для математичного моделювання складних задач науки і техніки. Саме тому кількісні методи дослідження в даний час проникають практично у всі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобом пізнання. Роль математичних моделей далеко не вичерпується проблемою пізнання закономірностей. Їх значення безперервно зростає у зв'язку з природною тенденцією до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. В процесі пізнання і в прагненні створити детальну картину досліджуваних процесів ми приходимо до необхідності будувати все більш складні математичні моделі, які у свою чергу вимагають універсального тонкого математичного апарату. Реалізація
математичних моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою методів обчислювальної математики, яка безперервно удосконалюється разом з прогресом в області електронно-обчислювальної техніки. Всяка редукція задач
математичної фізики або техніки зрештою звичайно зводиться до рівняння алгебри тієї або іншої структури. Тому предмет обчислювальної математики, як правило, пов'язаний з методами зведення задач до систем рівнянь алгебри і їх подальшого розв’язання.
Чисельні методи сьогодні - один з найпотужніших математичних засобів розв’язування задач. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо постійно, наприклад, добуваючи квадратний корінь на аркуші паперу. У той час є задачі, де без достатньо складних чисельних методів не можна було б отримати відповіді; класичний приклад – відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана.
Чисельні методи є основним інструментом розв’язання сучасних прикладних задач. Аналітичний розв’язок тієї або іншої задачі є швидше виключенням, ніж правилом через складний і наближений характер досліджуваних моделей. От чому чисельний аналіз математичних моделей - метод, алгоритм, програма, обчислювальний експеримент - є в сьогоденні актуальним і найбільш ефективним апаратом конструктивного дослідження прикладних проблем.
РОЗДІЛ 1. Теоретична частина
1.1 Постановка задачі
Крайова задача – це задача знаходження власного роз’язку системи:
на відрізку вякійдодатковіумовинакладаютьсяназначенняфункцій EMBED Equation.3 більше ніж в одній точці цього відрізка. Очевидно, що крайові задачі можливі для систем порядку не нижче другого.
Свою первинну назву цей тип задач отримав з найпростіших випадків, коли частина додаткових умов задається на одному кінці відрізка, а інша частина–надругомутобтотількивточкаххаіхb). Прикладом є задача знаходження статистичного прогину EMBED Equation.3навантаженоїструниіззакріпленимикінцями
EMBEDEquation, EMBED Equation.3, ; (1)
тут EMBED Equation.3зовнішнєзгинаюченавантаженнянаодиницюдовжиниструниподілененапружністьструни
ДлярівняньабосистембільшвисокихпорядківдечислододатковихумовбільшезадвапостановкикрайовихумовбільшрізнобічніПрицьомуможливівипадкиколичастинаумовзадана у внутрішніх точках відрізка [a, b]їхнерідконазиваютьвнутрішнімикрайовимиумовамиНаприкладстатистичний прогин навантаженого пружного бруска задовольняє рівнянню четвертого порядку
, EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3; (2)
якщо цей брусок лежить в точках EMBEDEquation, EMBED Equation.3наопорахтододатковіумовимаютьвид
EMBEDEquation, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3
тобто всі вони задані в різних точках.
Самі додаткові умови можуть зв’язувати між собою значення кількох функцій в одній точці (або навіть в різних точках); тоді для системи р-го порядку вони приймуть вигляд
EMBEDEquation,
EMBED Equation.3
Існуютьзадачізщебільшскладнішимизаформоюкрайовимиумовами, наприклад, умовами нормування
EMBED Equation.3
звичнимивквантовіймеханіціітд
НедивлячисьнарізноманітністьформкрайовихумовкрайовізадачірозвязуютьсявосновномуоднимиітимижчисельнимиметодамищовиправдовуєїхобєднанняводинтипЗупинимосянаметодахрозв’язування
Знайтиточнийроз’язоккрайовоїзадачівелементарнихфункціяхвдаєтьсярідкодляцьоготребазнайтизагальнийрозв’язоксистемиізумітиявновизначитизкрайовихумовзначеннясталих, що входять у нього.
До наближених методів розв’язкукрайовихзадачвідносятьсярозкладврядиФур’є, методи Рітца і Галеркіна. Ряди Фур’є застосовуються до лінійних задач. Інші два методи застосовуються і до деяких нелінійних задач.
Для чисельного розв’язку крайових задач використовують метод стрільбиірізницевийметодМетодстрільбибазуєтьсяназведеннікрайовоїзадачідодеякоїзадачіКошідлятієїжсистемирівняньВрізницевомуметодізадачанаближенозаміняєтьсярозв’язкомалгебраїчноїсистемирівняньздосить великим числом невідомих. У випадку нелінійних задач обидва методиєітераційнимиприцьомупобудоваітераційнихпроцесівщодобрезбігаються, виявляється достатньоскладною
Математична модель задачі
Методи приблизного розв’язання поставлених крайових задач можна розбитинадвігрупирізницеві методи і аналітичні методи. До різницевих методів розв’язку лінійної крайової задачі відносять: метод скінченних різниць для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, метод прогонки. До аналітичних методів – метод Галеркіна, метод колокацій.
Метод скінченних різниць дозволяє знайти наближений розв’язок крайової задачі у вигляді таблиці, а аналітичні методи дають можливість знайти наближений розв’язок лінійної крайової задачі у вигляді аналітичного виразу. Розглянемо метод Галеркінадлязнаходженнянаближеного розв’язку лінійної крайової задачі.
Метод Галеркіна базується на одній теоремі з теорії загальних рядів Фур’є.
Теорема. Нехай EMBED Equation.3повнасистемафункційзненульовоюнормоюортогональнихнавідрізку[a, b]. Якщо неперервна функція EMBED Equation.3ортогональнанавідрізку[ab]довсіхфункцій, тобто
EMBED Equation.3 (n = 0, 1, 2, . . .), (3)
то EMBED Equation.3 при відноснозаданоїсистеми ортогональнихфункцій
EMBEDEquation (4
Як відомо, коефіцієнти Фур’є увідношеннідобудьякоїнеперервноїфункції виконана рівність повноти
EMBED Equation.3)
Звідси, враховуючи рівність (5), маємо
EMBED Equation.3
іотжепри (тобтоEMBED Equation.3 то
EMBED Equation.3
придостатньовеликомуNВцьомувипадкуфункціяEMBED Equation.3 в середньому на відрізку [a, b]будеякзавгодномалоюПридодаткових обмеженнях звідси випливає, що також малий на відрізку EMBED Equation.3
Перейдемо до викладу метода Галеркіна. Нехай маємо лінійну крайову задачу
EMBEDEquation (7
де EMBEDEquationпринаявностілінійнихкрайовихумов
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3(8)
EMBED Equation.3
Оберемо кінцеву систему базисних функцій EMBED Equation.3 = 0, 1, . nщоскладаютьчастинудеякоїповноїсистемипричомупотурбуємосящобфункція EMBED Equation.3задовольняланеодноріднікрайовіумови
EMBEDEquation EMBEDEquation
а функції EMBED Equation.3 (QUOTE = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам
EMBED Equation.3 (9)
При нашому підборі базисних функцій EMBED Equation.3 функція EMBEDEquation, що визначається формулою (9), очевидно, задовольняє крайовим умовам (8) при будь-якому виборі коефіцієнтів EMBED Equation.3Виразпідставимоудиференціальнерівняння (7щодаєнев’язність
так, щоб функція EMBED Equation.3 була в якомусь сенсі малою.
Згідно методу Галеркіна вимагаємо, щоб нев’язність
абобільшдетально
(10)
= 1, 2, . . . , n
РОЗДІЛПРАКТИЧНАЧАСТИНА
. Алгоритм методу
Визначаємозданогодиференціальногорівняннядругогопорядкуфункції
2. Обираємо систему базисних функцій EMBED Equation.3n) так, щоб функція EMBEDEquation задовольняла крайовим умовам: EMBED Equation.3афункції = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам EMBED Equation.3 ( n).
Знаходимо EMBED Equation.3 ( QUOTE = 0, 1, 2, 3, 4).