ЗАКОН КЛАВИЯ
Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Или иначе: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.
Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к "Геометрии" Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.
Символически закон Клавия представляется формулой:
(~ А → А) → А,
если не-А имплицирует А, то верно А.
Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А Например, нужно доказать утверждение "У трапеции четыре стороны". Отрицание этого утверждения: "Неверно, что у трапеции четыре стороны". Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.
Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последний утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения "Каждое высказывание истинно" вытекает истинность и его отрицания: "Не все высказывания истинны". И значит, это отрицание, а не положение Протагора, на самом деле истинно.
Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.
К закону Клавия близок по своей структуре уже упоминавшийся логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем закон Клавия, представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению.
ЗАКОН ТРАНЗИТИВНОСТИ
Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: "Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека". Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.
Символически данный закон представляется формулой:
((А → В) & (В → C) → (А → С),
если (если А, то В) и (если В, то C), то (если А, то C).
ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ И КОММУТАТИВНОСТИ
Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью "и", "или" и др.
Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:
(а + в) + с = а + (в + с), (а × в) × с = а × (в × с).
Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:
(A v B) v C ↔ A v (B v C), (A & B) & C ↔ A & (B & C).
В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.
Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные "и", "или", "если и только если" и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др.,
по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения – от порядка слагаемых и т.д.
Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:
(А & В) ↔ (В & А),
А и В тогда и только тогда, когда В и А;
(A v В) ↔ (В v А),
А или В, если и только если В или A.
Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: "Волга – самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе"" "Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь".
Существуют важные различия между употреблением слов "и" и "или" в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное "и" употребляется при перечислении, а обычное "или" предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения "и" и "или" упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. "И" и "или" в логике коммутативны. Но "и" обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение "Он сломал ногу и попал в больницу" очевидно не равносильно высказыванию "Он попал в больницу и сломал ногу".
ЗАКОН ДУНСА СКОТТА
Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.
Известен анекдот об английском философе и логике Б.Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел – римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скотта.
Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел – два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел – это одно и то же лицо.
Приведенные формулировки законов логики и примеров к этим законам являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идет о самых простых по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в передаче законов.
Мало сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще могут быть адекватно переданы на этом языке.
Не случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с ними понятий специальный язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и легкости общения.
Тема 4. Понятия (имена).
1. Виды понятий.
2. Отношения между понятиями.
3. Определение понятий.
4. Деление понятий.
Имена – необходимое средство познания и общения. Обозначая предметы и их совокупности, имена связывают язык с реальным миром.
Имена естественны и привычны, как те вещи, с которыми они связаны. Настолько естественны, что когда-то они казались принадлежащими самим вещам, подобно цвету, тяжести и другим свойствам.
Первобытные люди рассматривали свои имена как нечто конкретное, реальное и часто священное. Психолог Л.Леви-Брюль, создавший в начале этого века концепцию первобытного мышления, считал такое отношение к именам важным фактором, подтверждающим мистический и внелогический характер мышления наших предков. Он указывал, в частности, что "индеец рассматривает свое имя не как простой ярлык, но как отдельную часть своей личности, как нечто вроде своих глаз или зубов. Он верит, что от злонамеренного употребления его имени он так же верно будет страдать, как от раны, нанесенной какой-нибудь части его тела. Это верование встречается у разных племен от Атлантического до Тихого океана". На побережье Западной Африки "существуют верования в реальную и физическую связь между человеком и его именем; можно ранить человека, пользуясь его именем... Настоящее имя царя является тайным..."
Эти наивные представления об именах как свойствах вещей удивительно живучи. Астроном В.Воронцов-Вельяминов вспоминает, например, что на популярных лекциях слушатели не раз задавали ему вопрос: "Мы допускаем, то можно измерить и узнать размеры, расстояние и температуру небесных тел; но как, скажите, узнали вы названия небесных светил?"
Ответ на такой вопрос прост. Астрономы узнают имена открытых ими небесных тел так же, как родители узнают имена своих детей – давая им эти имена. Но сам факт подобного вопроса показывает, что иллюзия "приклеенности", "привинченности" имен к вещам нуждается в специальном объяснении.