Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. К примеру, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: "Если серебро – металл, оно электропроводно".
Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, в частности, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения ("Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна"). Связь может представлять собой закон природы ("Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться") или причинную связь ("Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение"). Рассматриваемая связь может иметь также характер социальной закономерности, правила, традиции и т.п. ("Если меняется общество, меняется также человек", "Если совет разумен, он должен быть выполнен").
Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что консеквент с определенной необходимостью "вытекает" из антецедента и что имеется некоторый общий закон, сформулировав который, мы могли бы логически вывести консеквент из антецедента. Например, условное высказывание "Если висмут металл, он пластичен" как бы предполагает общий закон "Все металлы пластичны", делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.
И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание, кроме функции обоснования, может выполнять также целый ряд других задач. Оно может формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом ("Если захочу, разрежу свой плащ"), фиксировать какую-то последовательность ("Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое"), выражать в своеобразной форме неверие ("Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма"), противопоставлять ("Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька") и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняют его анализ.
Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем условное высказывание, если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае употребление такого высказывания кажется неестественным ("Если вата – металл, она электропроводка").
Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление связки "если ..., то ...", освобождает его от влияния психологических факторов.
Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться не только с помощью связки "если ..., то ...", но и с помощью других языковых средств. К примеру: "Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно", "Хотя пластилин и не металл, он пластичен", "Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно" и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них "если ..., то ..." было бы не совсем естественным.
Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным.
Это определение как и предыдущие определения связок предполагает, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и способа их связи.
Для установления истинности импликации "если А, то В" достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказывании А и В. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:
(1) и ее основание, и ее следствие истинны; (2) основание ложно, а следствие истинно; (3) и основание, и следствие ложны.
Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.
Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится.
| А | В | A → В |
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | и |
| л | л | и |
Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определен этой таблицей, и ничего другого импликация не подразумевает.
Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание "если А, то В" истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет. Истинными считаются, например, высказывания: "Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем", "Если Волга – озеро, то Токио – большой город" и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся, к примеру, высказывания: "Если Солнце – куб, то Земля – треугольник", "Если дважды два равно пяти, то Токио маленький город" и т.п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Очевидно, что хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты "логического поведения" условного высказывания, но вместе с тем не является достаточно адекватным его описанием.
В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении, наряду с ним, другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.
С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда "двойной импликацией".
Эквивалентность – сложное высказывание "А, если и только если В", образованное из высказываний А и В и разлагающееся на две импликации: "если А, то В" и "если В, то А". Например: "Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным". Термином "эквивалентность" обозначается и связка "..., если и только если ...", с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо "..., если и только если ..." для этой цели могут использоваться "... в том и только том случае, когда ... ", "... тогда и только тогда, когда ..." и т.п.
Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.
Обозначим эквивалентность символом ↔, формула A ↔ В может быть прочитана так: "А, если и только если В". Таблица истинности для эквивалентности приводится.
| А | В | А ↔ В |
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | л |
| л | л | и |
С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и импликации можно представить так: "А ↔ В" означает "(А → В) & (В → А)".
Например: высказывание "Ромб является квадратом, если и только если все углы ромба прямые" означает "Если ромб есть квадрат, то все углы ромба прямые, и если все углы ромба прямые, то ромб есть квадрат".
Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое такое отношение, эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то первое высказывание эквивалентно третьему).
В следующей таблице перечислены все шесть связок, которые были введены ранее:
| Название | Символ | Истолкование |
| Отрицание | ~ | "не" |
| Конъюнкция | & | "... и ..." |
| Дизъюнкция в неисключающем смысле | v | "... или ..." |
| Дизъюнкция в исключающем смысле | V | "либо ..., либо ..." |
| Импликация | → | "если ..., то ..." |
| Эквивалентность | ↔ | "..., если и только если ..." |
Следующие примеры показывают употребление данных связок.
| А | ~ А | А → А | A v ~ А | А & ~ А | ~ (А & ~ А) |
| и | л | и | и | л | и |
| л | и | и | и | л | и |
| А | В | А → В | (А → В) & А | ((А → В) & А) → В |
| и | и | и | и | и |
| и | л | л | л | и |
| л | и | и | л | и |
| л | л | и | л | и |
| А | В | А → В | ~В | (A → B) & ~ B | ~ А | ((A → B) & ~ B) → ~ A |
| и | и | и | л | л | л | и |
| и | л | л | и | л | л | и |
| л | и | и | л | л | и | и |
| л | л | и | и | и | и | и |
Эти таблицы показывают, что формулы (А → A), (A v ~ A), ~ (A & ~ А), ((А → В) & А) → В и ((A → В) & ~ В) → ~ А принимают значение истинно при любых значениях входящих в них переменных. Такие формулы называются общезначимыми, или тождественно истинными, или тавтологиями. Более подробно об общезначимых формулах, представляющих законы логики, говорится в главе, посвященной этим законам.