Формирование всякого вычислительного навыка включает в себя ряд этапов:
I – подготовительный этап;
II – ознакомление с новым вычислительным приемом;
III – усвоение вычислительного приема и формирование вычислительного умения и навыка[38].
Рассмотрим особенности каждого из этапов.
1. Подготовка к введению нового приема.
На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается теоретический прием. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема – овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый прием.
2. Ознакомление с вычислительным приемом.
На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. Степень самостоятельности учащихся должна увеличиваться при переходе от приема к приему другой группы.
3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка.
На данном этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих вычислительный прием, и предельно быстро выполнять эти операции, то есть овладеть вычислительным навыком.
В процессе работы важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.
На первой стадии закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. На второй стадии происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции, обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, то есть промежуточных вычислений. На третьей стадии происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, то есть здесь происходит свертывание и основных операций. Четвертая стадия характеризуется предельным свертыванием выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане предельно быстро, то есть они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.
Названные стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую.
2.4. Способы активизации познавательной деятельности при изучении вычислительных приёмов в 1 классе
Данная практика обучения арифметике в начальных классах связана с сохранением дошкольного образовательного интереса детей и привлечением их личного опыта для понимания собственных действий. Основанием для осуществления такой практики стал методический опыт Л.Н. Толстого в Яснополянской школе[39], отображенный в его педагогических статьях и учебнике "Арифметика"[40], а также идеи Л.С. Выгодского о взаимодействии учителя и ученика по поводу учебного материала, как освоение форм культурного поведения.
Первоклассники, которые учатся математике по традиционной методике, затрудняются с пониманием позиционности числа, смысла арифметических операций и состава числа. Например, дети при записи путают числа 41 и 14, а при вычитании и сложении больших чисел с трудом переводят единицы одного разряда в единицы другого. На наш взгляд, это связано с тем, что в традиционной методике преподавания математики не выделяется момент перехода от непосредственной работы с количеством к отвлеченным операциям над знаками. Поэтому мы видим необходимость перехода от натуральной арифметики к культурной.
6 - 7 летний ребенок представляет себе число натурально. Если его спрашивают: "Сколько будет (7+2)? ", он начинает считать на пальцах, рисовать кружки и т.д. Ребенок ищет подкрепление своим представлениям в реальном мире, ему еще трудно абстрагироваться от конкретных предметов. Он жил до школы в мире вещей, действуя ими, объединял в играх в количество, выстраивал отношения между этими конкретными количествами. Поэтому, когда мы в школе говорим: "Пять", то дети это связывают с определенным количеством вещей.
Затруднения в осуществлении арифметических операций возникают, если нет возможности овеществить количество и операции. Здесь становится видной сущность культурного развития, состоящая "... в столкновении развитых культурных форм поведения, с которыми встречается ребенок, с примитивными (натуральными) формами, которые характеризуют его собственное поведение"[41]. По мнению Л.С.Выготского "...Момент, когда ребенок от непосредственной реакции на количество переходит к отвлеченным операциям над знаками, является моментом конфликтным"[42]. Для ребенка этот переход всегда будет кризисным, т.к. ему приходится психологически настраиваться на другое и еще это "другое" понять.
Задачей 1-го класса будет выстраивание перехода от натуральной арифметики к абстрактной. Причем выстроить этот переход необходимо так, чтобы момент конфликта был представлен ребенку и вместе с ним найдено средство по его преодолению. Чтобы осуществить этот переход, надо пройти цепочку "вещь - количество - значок- знак", где значок станет знаком только тогда, когда наполнится значением.
"Очевидно, ребенок усваивает в первую очередь не внутреннее отношение между знаком и значением, - писал Л.С. Выготский, - а внешнюю связь между словом и предметом"[43]. В нашем случае словом становятся значки разных записей чисел, а предметом те количества, которые они обозначают. И когда произошло наполнение каждого значка смыслом, ребенок может начать усваивать внутренние отношения между знаком и значением. На сравнении разных систем записи чисел обостряется противоречие между позиционностью и непозиционностью числа.
Любой культурный навык содержит в себе две стороны: операционно-техническую (умение "означивать" определенное количество) и смысло-содержательную (осмысление навыка - ЧТО стоит за данным значком, КАК произошло свертывание количества в знак). Л. Толстой называл операционно-техническую работу "механической", а смысловую - "понимательной"[44].
В нашей практике методика перехода от натурального к абстрактному в 1 классе предусматривает:
• натуральное сосчитывание;
• римская запись чисел;
• славянская запись чисел;
• счеты;
• арабская запись чисел.
На каждом из этапов смысловая и техническая стороны пересекаются, и объект изучения видится ребенку более объемно и наполняется для него смыслом. Следует особо отметить, что здесь мы имеем дело с личным смыслом. Ребенок видит, что он умеет это делать, понял свои "шаги" к овладению навыком, сам применяет его для решения других задач.
Введя в пространство представлений о математике разные записи чисел, ребенок видит многообразие вариантов означивания количества, в котором каждый элемент имеет свою работу и цель. И ребенок может сам определить границы своего понимания, выбирая то или другое задание, а также познавать "плюсы" и" минусы" каждой записи чисел, применяя их к конкретным задачам. Например, если ребенку трудно решить пример 7+8 в арабской записи, то он переводит в римскую VII+VIII и быстро решает, т.к. римская запись более натурально означивает количество. Или кто-то из учеников начинает записывать 52 как VII в римской, путая закономерности разных записей, тогда остальные ребята начинают объяснять ему, где он сделал ошибку, тем самым делая попытку рассказать о принципах записи в каждой системе.
Только в многообразии знаковой представленности числа ребенок может определить, в какой из записи чисел он может и хочет работать, может вернуться к пройденному, может попробовать новое. Тогда многообразие знаковых представленностей числа становится пространством проб ребенка и пространством видения учителем ритма, темпа, стиля работы и мест непонимания ученика.
Выделение в каждом этапе одной из двух сторон работы, позволяет ребенку органично войти в сложный для него мир - мир математики, самому увидеть место собственного непонимания, попытаться вычленить способы преодоления трудностей. Такой опыт ребенка и есть опыт неотчужденного отношения к предмету изучения.
1 этап «Натуральное сосчитывание, счет группами».
Многие дети, придя в школу, имеют натуральный опыт переливания, пересыпания, конструирования из кубиков, но бывают и такие, которые до школы не проживают этот опыт. Учителю в своей работе нужно учитывать разноподготовленность детей. Поэтому на первом этапе мы актуализируем дошкольный опыт для одних детей и формируем его для других детей. Этот опыт нам важен. Ведь, поняв значимость своего дошкольного опыта в школе и увидев другое - "идеальное математическое", ребенок вместе с учителем начинает выстраивать переход от натуральной арифметики к опосредованной.
Затем начинается работа с множествами:
- множества выделяются по заданному признаку из совокупности разных предметов. Например, "найдите все лапы у разных животных" или "Найдите все круги из разных фигур";
- устанавливаются взаимно-однозначные и бинарные отношения (например: "покажи его сестру", "один больше другого");
- пересчитываются элементы разных множеств, причем дети сами выбирают объекты для пересчитывания (столы, карандаши, пальцы, уши и т.д.);
- сравниваются количества элементов множеств между собой, которые затем объединяются в одно множество и убираются из множества.
Такое искусственное "затягивание" линии натуральной арифметики нам необходимо для обострения конфликта и создания условий для перехода к опосредованному счету. "Мышление ребенка переводится из стадии предметности в стадию действия и затем в стадию качеств и отношений", писал Выготский[45].