Происходит переход от восприятия количеств к числовому ряду. Дальше переход манипулятивных действий с предметами усложняется:
- мы считаем предметы группами (по 2, 3, 5, 7, 10 и т.д.), выделяя более рациональный способ счета;
- делим количество предметов на части;
- раскладываем предметы по группам, упорядочиваем разные формы.
По Выготскому, "...Первая стадия развития ребенка - упорядочение формы и восприятие количества"[46]. Мы предполагаем, что это поможет перейти от пересчитывания количества элементов к присчитыванию, что позволяет представить ребенку количество - как единое. Например, складывая 6+3, ребенок не пересчитывает элементы первого множества заново, а начинает присчитывать к 6-ти.
Учитывая желание ребенка научиться цифрам (значкам) и оперированию с ними, мы пытаемся записать результаты счета или сам процесс, используя известные значки - цифры и знаки (+-, -, <, >, =). Так, например, раскладывая камни по 10 в мешочек, заняв 3 мешочка и имея остаток 6 камней, мы с учениками записываем "3 меш. и 6 камн.", что соответствует записи числа "36".
2 этап «Работа с римскими числами»
Дальше дети пытаются обозначить свои считаемые количества каким-нибудь значком. Чаще всего дети сами вводят арабские значки - цифры, т.к. они уже им встречались. Но арабская запись числа - наиболее абстрактная из всего представленного нами ряда. Она не только натурально не содержит в себе состав числа, например "8". Каждая цифра имеет отличное обозначение от других. А так же арабская запись - это позиционная система что является высокой абстракцией. Поэтому работы с римскими числами помогают ребенку вступить в мир Числа. Фиксируя определенное количество римской цифрой, ребенок непроизвольно включается в усвоение состава числа, например, семь - II - это V и II (5 и 2), V и I (6 и 1). Записывая по-римски число 23, ребенок может полунатурально "ощутить" десятки и единицы XXIII. Оперируя этими числами, ребенок вынужден объединить определенное количество в особый значок, например, IIIII=V, а также видеть более легкие способы решения, например, (VI+VII) - ребенок сначала складывает V и V, а затем палочки. На этом же примере видно, что ребенку не составляют трудности примеры с переходом через десяток. На римских примерах дети научатся объединять десятки с десятком, сотни с сотнями и т.д., вычислять и объединять до круглого разряда, например, L + L (50+50), V + V (5+5). Дети научаться без прямой подсказки учителя решать примеры более легким способом, например, (5+6+15+4).
Римская запись более натуральна, т.к. количество и запись (значок) почти дублируют друг друга, следовательно это более близко ребенку и будет, вероятно, актуально. А это "почти" позволяет сделать шаг к абстрагированию, в мир математики.
3 этап «Славянская запись числа»
Этот этап является следующим шагом к позиционности счисления, т.к. славянская запись числа более абстрактная, чем римская. На них хорошо понимается сложение единиц разных разрядов, например, К+А+КА (20+1=21), и ход к арабской, т.к. цифры каждого разряда отличны друг от друга, они не содержат в себе натурально, т.е. видимо, предыдущие числа, например, А+Д=Е (1+4=5). В славянской записи чисел начинает закрепляться место разряда (КГ - 23 или АТКА - 1321). Дети, расшифровывая славянские числа, начинают уяснять себе это. А в случае выпадения разрядов заставляют задуматься над позиционностью арабской записи чисел (например, РА=101, РI=110). Поэтому здесь позиционность понимается как место разряда в записи.
4 этап «Счеты»
Косточки счет внешне похожи на предметы-заместители, но еще более абстрактны, т.к. культурное пользование ими построено позиционно. Ребенок, узнав устройство счет, может увидеть, понял ли он позиционное абстрагирование или нет. Если ребенок начинает пересчитывать все косточки и откладывает число, например, 26, как 10 косточек на одной проволоке, 10 на второй и еще 6 на третьей, то это диагностика непрожитости этапа "натурального сосчитывания", значит с этим ребенком лучше вернуться обратно на предыдущие этапы. Если же ребенок отложил на первой проволоке 6 косточек, на второй - 2, значит, он уже понял, как работают счеты, а значит, как записывается число в арабской записи, а если он еще и решает примеры с переходом через десяток, значит, он вплотную подошел к абстрактному уровню понимания. При работе на счетах мы учим записывать арабские числа, помещая рядом со счетами лист бумаги.
5 этап «Арабская запись числа»
Переходя к ней, мы сначала выполняем арифметические действия сложения и вычитания поразрядно, затем до круглого числа и только потом переходы через разряд, которые мы расписываем как, например, 98+56=140+14=154. В итоге дети могут любое число назвать с учетом его разрядов, например, 132 - это 13 десятков и 2; 1 сотня, 3 десятка, 2; 1 сотня, 32.
Так, используя разные системы записи чисел, мы выстраиваем переход от натурального представления о числе к абстрактному (культурному опосредованному).
Любой культурный навык формируется долго, его нельзя торопить, т.к. у каждого ребенка индивидуальный темп усвоения, понимания, обобщения. Пройдя такой длинный путь через записывание количества и сложение-вычитание римскими, славянскими цифрами, имея опыт работы со счетами, дети в арабской записи понимают каждый разряд и значение каждой цифры в записи числа, они "прочувствовали", что за каждой записью стоит они умеют действовать с математическим знаком.
Сознательность усвоения предполагает активность учащихся в процессе обучения. Без активной мыслительной деятельности не может быть достигнуто сознательного усвоения знаний. Различают активность в широком и узком смысле. Активность в широком смысле при обучении математике существенно не отличается от активности учащихся в процессе обучения их другим предметам, т. е. она не затрагивает специфику учебного предмета. Активность же в узком смысле можно понимать как проявление специфической мыслительной деятельности, характерной для ученого-математика и называемой потому «математической» деятельностью.
На первый взгляд сама постановка проблемы обучения математической деятельности может показаться неправомерной. Действительно, способен ли ученик младших классов школы к математической деятельности? Очевидно, что к математической деятельности на высоком логическом уровне не способен ни ученик III, ни ученик X класса. Но к какой-то математической деятельности, адекватной уровню мышления, способен и первоклассник. Все зависит от того, что мы понимаем под «математической деятельностью».
Когда первоклассник (или дошкольник) образует пары элементов из двух множеств и приходит к выводу, что в одном множестве больше предметов, чем в другом, он уже осуществляет некоторую, хотя и весьма примитивную, математическую деятельность. Усваивая понятие арифметической операции, ученик переходит от действий над множествами конкретных предметов к операциям над соответствующими числами (числами элементов этих множеств), отвлекаясь при этом от природы предметов. Это тоже математическая деятельность, но на более высоком уровне. Открывая законы действий над числами, отвлекаясь при этом от конкретных чисел, заменяя их буквами (или пустыми окошками различной формы), он осуществляет математическую деятельность на еще более высоком уровне.
Обучение математике может и должно строиться так, чтобы начиная с первого класса ученик последовательно переходил от одного уровня математической деятельности к другому, более высокому.
Известный математик-педагог Д. Пойа так формулирует принцип активного учения: лучший способ изучить что-нибудь – это открыть самому. Хотя ученик третьего класса «открывает» то, что уже давно открыто, он мыслит при этом как первооткрыватель. Важная задача методики преподавания – стимулировать открытия учащихся.
1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Полевщикова А.М. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984. – 192 с.
2. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. – М.: Педагогика, 1968. – 275 с.
3. Возрастная и педагогическая психология / Под ред. А.В. Петровского. – М.: Педагогика, 1989. – 351 с.
4. Выготский Л.С. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 3: История развития высших психических функций. – М.: Педагогика, 1983. – 483 с.
5. Герцен А.И. С того берега // Избранная философская проза. Т. II. – М.: Политиздат, 1985. – С. 120 – 197.
6. Гиппенрейтер Ю.Б. Деятельность и внимание // А.Н. Леонтьев и современная психология / Под ред. А.В. Запорожца и др. – М.: Психология, 1983. – С. 28 – 39.
7. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. – М.: Педагогика, 1987. – 160 с.
8. Данилов М.А. Теоретические основы обучения и проблема воспитания познавательной активности и самостоятельности учащихся // Вопросы воспитания познавательной активности и самостоятельности школьников. – Казань, 1972. – С. 43 – 57.
9. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. – М.: Педагогика, 1961. – 175 с.
10. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. – М.: Педагогика, 1982. – 160 с.
11. Изучение трудных тем по математике в I – III классах: Из опыта работы учителей г. Москвы. – М.: Просвещение, 1982. – 160 с.
12. Костюк Г.С. Развитие и воспитание // Общие основы педагогики / Под ред. Ф.Ф. Королёва и В.Е. Гмурмана. – М.: Высшая школа, 1967. – С. 47 – 59.
13. Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. – М.: Просвещение, 1979. – 126 с.
14. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: Наука, 1975. – 421 с.
15. Лернер И.Я. Познавательные задачи в обучении гуманитарным предметам. – М.: Педагогика, 1987. – 85 с.
16. Лысенкова С.Н. Когда легко учиться. – М.: Педагогика, 1985. – 174 с.
17. Методика начального обучения математики / Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Мн.: Выш. шк., 1988. – 254 с.