работа по дисциплине (стр. 2 из 2)

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение вида

(4)

Для заданных значений аргумента x₁, x₂,…, x_n, расположенных в порядке монотонного изменения, требуется вычислить при k=1,2,…,n значения

функция , являющейся решением уравнения (4), если известно начальное значение

(5)

Для решения этой задачи применялся метод Эйлера, где имеет место Формула

(6)

погрешность которой

(7)

Погрешность метода Эйлера, как видно из формулы (7), на каждом шаге очень велика. Поэтому на практике методом Эйлера пользуются редко. Значительно чаще для решения задачи (4) и (5) пользуются методом Рунге-Кутта.

Имеется несколько видов формул Рунге-Кутта различного порядка. Формула Рунге-Кутта первого (m=1) порядка совпадает с формулой Эйлера (6), а формула второго (m=2) порядка - с формулами улучшенного метода Эйлера

(8)

где k₁, k₂ – коэффициенты Рунге-Кутта,

Погрешность формулы (8) можно записать в виде

(9)

При каждом m>2 имеется несколько разновидностей формулы Рунге-Кутта.

Рассмотрим наиболее распространенные из них. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка записываются следующим образом:

(10)

В каждой из приведенных выше групп формул сначала вычисляют значения k₁,k₂,после чего находят y_k+1. Они настолько громоздки, что ими практически не пользуются. Для формул Рунге-Кутта нет точных оценок погрешности при m>2. Известно только, что Формула Рунге-Кутта m-го порядка имеет погрешность порядка h^m+1.

Численное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта

Аналитическое выражение для решений дифференциальных уравнений, за исключением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удаётся получить достаточно редко. В MathCad нет средств символьного решения уравнений, но достаточно хорошо представлены методы численного решения задачи Коши.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближённых значений

решения y(x) в узлах сетки Если k=1,2,…,N, то сетка называется равномерной (h-шаг метода).

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке

используется информация о решении только в точке x₀.

Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки точное решение раскладывают по формуле Тейлора в окрестности узла x_i:

Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением по формуле Тейлора до членов порядка

, то число p называется порядком метода.

Метод Рунге-Кутта обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутта. В этом методе величины

вычисляются по следующим формулам:

Погрешность метода на одном шаге сетки равна

Практически оценить величину М достаточно сложно. При оценке погрешности обычно используют правило Рунге.

Для этого сначала проводят вычисления с шагом h, а затем – с шагом h/2. Если

-приближение, вычисленное с шагом h, а - с шагом h/2, то справедлива оценка:

За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом h/2, принимают величину

В MathCad для решения задачи Коши на отрезке

методом Рунге-Кутта с постоянным шагом предназначена функция rkfixed ( ).

Результаты вычисления функции rkfixed – матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов равномерной сетки

а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах. Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной y значение переменной - начальное значение аргумента, переменной - значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной N – количество узлов равномерной сетки. Переменной D(x,y) присваивается выражение для вычисления правой части f(x,y).

Ниже приведём решение задачи Коши

на отрезке [-2,2] методом Рунге-Кутта с постоянным шагом. Изобразим графики решений, вычисленных с шагом 0.3, 0.6 и 0.15. Фрагмент рабочего документа MathCad с вычислениями и графиками приведём в приложении 1

. Расчет с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.

Представление результатов в виде графиков.

Приведем схему алгоритма для программы расчета.

Схема алгоритма.

-Библиографический список.

1. Б.П.Демидович, И.А.Марон. Основы вычислительной математики. М: Государственное издательство физико-математической литературы.

2. Информатика: Учебник / Под ред. Проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 1997.

3. Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. Проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 1997.

4. В.Б. Комягин. Программирование в Excel5 и Excel7 на языке Visual Basic. М: Радио и связь, 1996.

5. Н.Николь, Р.Альбрехт. Excel 5.0. Электронные таблицы. М: Изд. «ЭКОМ», 1996.