Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 10 из 13)
Ответы:
; 
Интегральные кривые изображены на рис. 9.
Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение
– это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором 
. Применим подстановку 
, тогда 
Подставив значения y и 
в уравнение, получим 
, или 
(****)Найдем функцию v(x), решая уравнение
.Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:
при соответствующем подборе
получаем 
– частное решение уравнения 
.Подставляя найденную функцию
в (****), получим дифференциальное уравнение для функции u: 
, или 
.Найдем функцию
– общее решение этого уравнения: 
Общим решением исходного уравнения является функция 
.Ответ:
. Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение
– это дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной x (см. (34)). Полагаем 
= p(y), тогда 
и уравнение примет вид: 
Решая первое уравнение, получим:
– первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию 
Второе уравнение
есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя 
на 
и проинтегрируем: 
где
. Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y: 
Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С1, используя начальные условия (y = 3,
= 2 при х = 1): 
Подставив значение
в дифференциальное уравнение, получим: 
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
Здесь использовано:
.Определим значение постоянной С2, соответствующее начальному условию y(1) = 3:
Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным начальным условиям (решение задачи Коши):
.Получим частное решение уравнения, выразив y(x):
Ответ:
Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение
– это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид 
. Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).1 этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения 
. Составим для него характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
По таблице 4 определим вид его общего решения 
2 этап. Построим частное решение
данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь 
, т.е. 
, тогда частное решение 
будем искать в виде 
.Составим условиям вариации согласно (40):
Поделив оба уравнения почленно на
, получим систему с неизвестными 
и 
: 
Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим
из первого уравнения и подставим во второе: 
затем найдем
Переходим к интегрированию:
(константы интегрирования считаем равными нулю).
Тогда
, и общее решение 
.Ответ:
.Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение
– это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид 
. Найдем его в 2 этапа.1 этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения 
Составим для него характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
По таблице 4 определим вид его общего решения 