Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 11 из 13)
2 этап. Построим частное решение
данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении 
– правая часть 2-го специального вида: 
, где 
. Числа 
, тогда, согласно (45), частное решение 
будем искать в виде: 
где А и В – неизвестные постоянные. Подставим
в данное неоднородное уравнение: 
Сократим обе части тождества на
и приравняем коэффициенты при cos3x и при sin3x в левой и правой частях тождества. 
Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим
Подставив найденные значения А и В в выражение 
, получим частное решение неоднородного уравнения: 
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.
Ответ: 
Решение задачи 6. Для решения системы
методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).Выразим z(x) из первого уравнения системы:
, продифференцируем ее: 
и подставим z и 
во второе уравнение системы: 
.После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у(х):
.Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид
. Найдем его в 2 этапа.1 этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения 
. Составим для него характеристическое уравнение 
и найдем корни: 
– корни комплексные сопряженные: 
. Здесь 
, тогда по таблице 4 определим вид общего решения однородного уравнения: 
.2 этап. Построим частное решение
неоднородного уравнения. Здесь 
– правая часть 1-го специального вида: 
, где 
, n = 1. Число 
не совпадает с корнями характеристического уравнения 
, тогда, согласно (44), частное решение будем искать в виде: 
,где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные
и подставим 
в неоднородное уравнение 
, при этом для простоты используем следующую форму записи: 
(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми
входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него 
: 
.Приравнивая коэффициенты при х1 и при х0 в обеих частях тождества, получаем:
откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в
, получим: 
.Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения
: 
.Найдем вторую неизвестную функцию:
Ответ:
Варианты контрольнЫХ работ
Каждый вариант контрольной работы №5 для студентов-заочников 1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной». Каждый вариант контрольной работы №6 содержит 6 задач по теме «Дифференциальные уравнения».
Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).
Интегрирование в контрольной работе №5 должно сопровождаться необходимыми ссылками на таблицы интегралов, их свойства, а также указанием метода интегрирования. При использовании замены переменной следует привести формулы замены всех элементов подинтегрального выражения через новую переменную.
Решение всех дифференциальных уравнений в контрольной работе №6 следует приводить подробно, указывая тип уравнения, способ получения решения и используемые методы интегрирования.
Варианты контрольной работы №5
Задача 1. Найти неопределенные интегралы:
| № варианта | Интегралы |
| n |
 ;  ;  ;  |
В примерах
правильность полученных результатов проверить дифференцированием.Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
| № варианта | Интегралы |
|
n | а)  ; б)  |