Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 4 из 13)
.Ответ:
= 
.в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
, отсюда 
, или 
.Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:
Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод частных значений):
Из первого уравнения получим:
. Почленно вычитая два последних равенства, получим: 
, и из последнего уравнения 
.Таким образом,
Переходим к интегрированию:
.Здесь использовано:
, 
.Проверим результат дифференцированием:
.Ответ:
= 
.г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
.Возвращаясь к переменной х, получаем:
.Ответ:
= 
.Решение задачи 2.
а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому
,следовательно, интеграл сходится и равен
.Здесь использовано:
.Ответ: интеграл
сходится и равен 
. б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, т.к. х=13 – точка бесконечного разрыва подинтегральной функции. Поэтому
,следовательно, интеграл сходится и равен
.Ответ: интеграл
сходится и равен 
. Решение задачи 3.
а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему 
. Приравнивая правые части, получаем уравнение 
, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = –1, x = 3.Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что
на промежутке [–1; 3].Используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.Ответ:
единиц площади. б) Для построения кривой
в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке 
.  | 0 | π/4 | 2π/4 | 3π/4 | π | 5π/4 | 6π/4 | 7π/4 | 2π |
 | 13 | 12,7 | 12 | 11,3 | 11 | 11,3 | 12 | 12,7 | 13 |
Построим чертеж в ПСК (рис. 7). Так как фигура ограничена кривой,
заданной в полярной системе координат, то площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13): 
.
Для 
получаем: 
.Ответ:
единицы площади. Решение задачи 4.
Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l1 и l2, нужно найти точки их пересечения, т.е. решить систему:
. Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение 
, решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: 
. 
Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8), можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15): 
.Ответ:
единиц объема. Решение задачи 5.
Кривая задана уравнением
где 
, поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): 
. Для
получаем: 
,тогда длина дуги кривой
.
Ответ:
единиц длины. Справочный материал по теме
«Дифференциальные уравнения»
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида
, (17)где x – независимая переменная, y(х) – неизвестная функция этой переменной,
– ее первая производная.