Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 5 из 13)
Часто дифференциальное уравнение первого порядка встречается в разрешенной относительно
форме: 
,или в дифференциальной форме (в дифференциалах):
P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0.
Решением дифференциального уравнения называется функция y = g(x), которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. В результате интегрирования дифференциального уравнения первого порядка получают не одно решение, а семейство решений, зависящих от одной произвольной постоянной С:
y = g(x, С)
– общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Если решение получено в виде, не разрешенном относительно у:
G(x, y, C) = 0,
то его называют общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка.
Всякое решение, получающееся из общего при конкретном числовом значении произвольной постоянной C = C0, называется частным решением:
y = g(x, С0).
Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения (17), удовлетворяющее некоторому начальному условию
y(x0) = y0, (18)
нужно в общее решение уравнения y = g(x, С) подставить x = x0, y = y0:
y0 = g(x0, С), (19)
из полученного уравнения (19) найти C = C0, затем найденное значение C0 подставить в общее решение. В результате получим частное решение
y = g(x, С0).
Задача нахождения частного решения уравнения (17), удовлетворяющего начальному условию (18), называется задачей Коши.
Общее решение y = g(x, С) задает на плоскости XOY семейство интегральных кривых данного дифференциального уравнения, поскольку каждому значению
соответствует кривая с уравнением 
Решению задачи Коши y = g(x, С0) соответствует одна интегральная кривая из этого семейства, проходящая через точку (x0; y0).2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений
1-го порядка
2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида
(20)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в правой их части находится произведение функций
одна из которых зависит только от x, другая только от y.Для того, чтобы найти решение уравнения (20), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.
Для разделения переменных в уравнении (20) заменим производную
на 
и умножим обе части уравнения на 
Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно, и уравнения (20) находится почленным интегрированием его левой и правой частей:
где С – произвольная постоянная, С = С2 – С1.
Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (20), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство с добавлением произвольной постоянной С.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (20), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим
на 
и разделим переменные, умножая обе части уравнения на 
.Интегрируя полученное равенство, получим:
Отсюда
– общий интеграл данного уравнения (константы интегрирования включены в общую константу С). Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде 
Ответ:
З а м е ч а н и е. Уравнение вида
(21)также является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (21) решается тем же способом, что и уравнение (20).
2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение вида
(22)где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является то, что искомая функция y и ее первая производная
входят в уравнение линейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций: положим y = u(x)v(x). Тогда
Подставив значения y и 
в уравнение (22), получим: 
(23)Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.
, (24)то для второй функции u(x) из равенства (23) получится уравнение
(25)Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):
(26) Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
которое удовлетворяет условию
(задача Коши).Решение. Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение в виде
Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оно является линейным дифференциальным уравнением.Положим y = u(x)v(x), тогда
Подставив y и в уравнение, получим: 
(*)Найдем функцию v, решая уравнение
(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования, положив
).Из последнего уравнения следует:
– общее решение, а при соответствующем подборе 
получаем 
– частное решение уравнения 
.