Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 7 из 13)
. (33)Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно искомая функция у, а входят только ее производные
и 
.Для решения уравнения (33) используется способ подстановки. Вместо производной
введем новую неизвестную функцию = z(x), тогда 
. Подставляя в (33) вместо 
и 
соответственно z и 
, получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно новой неизвестной функции z(x): 
.Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его общее решение в виде
, а затем вернуться к функции у: 
. Полученное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решая его, получаем общее решение уравнения (33): 
.Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (33) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Пример 4. Найти частное решение уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям 
Решение. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно у. Полагаем
= z(x), 
, тогда уравнение примет вид: 
.Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функции z(x). Положим
Подставив z и 
в уравнение, получим 
, или 
(**)Найдем функцию v(x) решая уравнение
Из последнего уравнения, полагая 
получаем: 
– частное решение уравнения 
.Подставим найденную функцию
в уравнение (**) и найдем общее решение этого уравнения: 
– общее решение уравнения
.Запишем общее решение уравнения
: 
.Так как z =
, то получаем дифференциальное уравнение для функции у(х): 
(***)Прежде чем интегрировать это уравнение, целесообразно определить значение постоянной С, используя начальное условие
Подставив значение
в дифференциальное уравнение (***), получим: 
Проинтегрируем:
Найдем значение постоянной С1, используя начальное условие
Запишем частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
.Ответ:
.4.2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной.
Уравнение такого типа имеет вид:
. (34)Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно независимая переменная x.
Способ решения уравнения (34) состоит в следующем. Примем переменную y за новую независимую переменную, вместо неизвестной функции y(х) введем новую неизвестную функцию p(y) по формуле
= p(y). Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим 
, где 
.Подставляя в (34) выражения для
и , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции p(y): 
Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его общее решение в виде
. Так как p = , полученное выражение является дифференциальным уравнением 1-го порядка относительно искомой функции y(х): 
.Это уравнение с разделяющимися переменными, которое следует решать по обычной схеме (см. п.2.1).
Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (34) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Пример решения уравнения 2-го порядка, не содержащего независимой переменной, приведен в образце выполнения контрольной работы.
5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с
постоянными коэффициентами
5.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Уравнение вида
(35)где p(x), q(x) и f(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка.
Отличительной его особенностью является то, что искомая функция у, и ее производные
и 
входят в уравнение линейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.Если
, то уравнение (35) называется линейным однородным дифференциальным уравнением и имеет вид: 
. (36)если же
, то уравнение (35) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка.Общее решение линейного однородного уравнения 2-го порядка (36) имеет вид:
,где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения
, а С1 и С2 – произвольные постоянные.Общее решение линейного неоднородного уравнения (35) имеет вид:
,где
– общее решение соответствующего однородного уравнения (36),