Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 8 из 13)
– какое-либо частное решение неоднородного уравнения (35).5.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если коэффициенты при у,
и 
– постоянные, то уравнение 
(37)где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (37) имеет вид:
,где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения,
С1 и С2 – произвольные постоянные.
Для нахождения линейно независимых частных решений у1 и у2 уравнения (37) используется квадратное уравнение вида
,которое называется характеристическим уравнением для уравнения (37).
В таблице 4 приведены виды функций у1 и у2 и вид общего решения уравнения (37) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Таблица 4.
| Корни характеристического уравнения | Вид функций у1 и у2 | Вид общего решения уравнения |
| Вещественные различные  |  ,  |  |
| Вещественные равные  |  ,  |  |
| Комплексно-сопряженные  |  ,  |  |
Пример 5. Найти общее решение уравнения
.Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения имеет вид
(коэффициент при 
равен нулю). Его корнями являются комплексные числа 
Здесь 
. Тогда 
, 
и общее решение данного уравнения: 
Ответ:
5.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида
(38)где p и q – вещественные числа, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (38) имеет вид:
(39)где
– общее решение соответствующего однородного уравнения (37), а 
– какое-либо частное решение неоднородного уравнения (38).Построение общего решения неоднородного уравнения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
, затем найти частное решение неоднородного уравнения.Решение
для линейного однородного дифференциального уравнения (37) находят, используя характеристическое уравнение (п. 5.1), а для нахождения частного решения уравнения (38) можно использовать либо метод вариации произвольных постоянных, либо метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных.
Метод вариации произвольных постоянных применяется для нахождения частного решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения в тех случаях, когда известно общее решение 
соответствующего однородного уравнения.Если известно
, то функция 
будет частным решением уравнения 
, если функции с1(х) и с2(х) удовлетворяют так называемым «условиям вариации»:
(40)Для нахождения частного решения
необходимо решить систему уравнений (40), затем проинтегрировать полученные функции: 
(41)и записать частное решение:
. Константы интегрирования в (41) можно взять равными нулю, так как мы находим частное решение.Пример использования метода вариации произвольных постоянных приведен в образце выполнения контрольной работы.
Метод неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения
неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f(x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух «специальных» видов: 
, (42)где Pn(x) – многочлен степени n: Pn(x) = a0xn + a1xn-1 +….+ an-1x+ an,
или
, (43)где M и N – числа.
1) Если
, то частное решение можно искать в виде: 
(44)где k1, k2 – корни характеристического уравнения, Qn(x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,
, и т.д.2) Если
, то частное решение можно искать в виде: 
(45)где k1, k2 – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
.Решение.
1 этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения 
. Составим для него характеристическое уравнение 
и найдем корни: 
– корни вещественные и различные. По таблице 4 определим вид линейно независимых частных решений однородного уравнения: 
, 
и запишем его общее решение: