Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 9 из 13)
.2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения
. В заданном уравнении 
– правая часть 1-го специального вида: 
Здесь 
, Pn(x) = 12x, т.е. многочлен в правой части –1-й степени (n = 1). Число
совпадает с одним корнем характеристического уравнения 
. Следовательно, согласно (44) частное решение 
будем искать в виде: 
,где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные
и подставим 
в данное неоднородное уравнение 
, при этом для простоты используем следующую форму записи: 
.Здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми
входят в уравнение, а под чертой приравниваются (тождественно) левая и правая части уравнения после подстановки в него 
с группировкой подобных членов.После сокращения обеих частей тождества на
, получаем: 
, откуда, приравнивая коэффициенты при х1 и при х0 в обеих частях тождества, получаем: 
Решая систему, находим
. Подставляя найденные значения в 
, получим: 
.Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения:
.Ответ:
.Пример использования метода неопределенных коэффициентов для случая, когда функция, стоящая в правой части уравнения, имеет 2-й специальный вид, приведен в образце выполнения контрольной работы.
6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений и их решение порядка методом повышения порядка
Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:
(46)где х – независимая переменная, y(x) и z(x) – неизвестные функции, f1(x) и f2(x) – известные функции a1, a2, b1, b2 – коэффициенты. Общее решение системы (46) имеет вид:
,где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Для решения системы (46) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z(x), из одного уравнения системы:
, (47)продифференцировать ее и подставить z и
во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида 
. После получения его решения 
, следует, используя (47), найти вторую неизвестную функцию: 
и записать ответ.Если в системе (46) коэффициенты a1, a2, b1, b2 – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
,решение которого рассмотрено в п.5.
Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.
Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы №6
Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка:
и точка 
. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка:
Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.
Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка:
и начальные условия: 
Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка:
. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка:
. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
Найти общее решение системы методом повышения порядка.Решение задачи 1. Данное дифференциальное уравнение
– уравнение с разделяющимися переменными. Заменим 
на 
и разделим переменные, умножая обе части уравнения на 
.Интегрируя полученное равенство, получим:
откуда
. Заменяя 
, запишем общее решение данного уравнения: 
.Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку
, т.е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: 
Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа 
соответственно: 
. Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): 
.Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.
Построим все эти кривые в системе координат (рис. 9).