Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» (стр. 1 из 13)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ
Методические рекомендации к выполнению контрольных
работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета
по дисциплине «Математика»
Часть 3.
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Дифференциальные уравнения.
Мурманск
2006 г.
УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)
ББК 22.151.5 + 22.143Я73
М 33
Составители – Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;
Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;
Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 15 февраля 2006 г., протокол № 4
Рецензент – Кацуба В.С., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор
Корректор
ÓМурманский государственный технический университет, 2006
Оглавление
Стр.
Введение…………………………………………………………………………. 4
Методические указания по темам «Интегральное исчисление функции
одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»...……………………5
Справочный материал по теме «Интегральное исчисление функции одной
переменной»……………………………………………………………………… 7
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов……..7
2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под
знаком неопределенного интеграла………………………………….…………. 8
3. Интегрирование по частям …………………………………………… … 9
4. Интегрирование рациональных дробей……………………………….. 10
5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций………….. 10
6. Определенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница …………...... 11
7. Несобственные интегралы первого и второго рода…………………….11
8. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе
координат (ДСК)…………………………………………………………...…… 13
9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)……..…..13
10. Вычисление объема тела вращения…………………………………..... 14
11. Вычисление длины дуги плоской кривой…..………………………….. 14
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №5 ...........15
Справочный материал по теме «Дифференциальные уравнения»………….. 21
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка…………………….......... 21
2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений
1-го порядка……………………………………………………………………...22
3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка…………….……………. 29
4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,
допускающих понижение порядка ……………………………………………. 30
5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с
постоянными коэффициентами …………………………………………..…… 34
6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений и их
решение порядка методом повышения порядка …………………………….. 40
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №6….….. 41
Варианты контрольных работ………………………………………………….. 49
Рекомендуемая литература …………………………………………….............. 56
Введение
В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам «Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения», варианты этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы.
В результате изучения этих тем студенты должны:
• изучить основные методы интегрирования – интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям, научиться интегрировать рациональные дроби и тригонометрические функции;
• получить представление об определенном интеграле и его свойствах, научиться вычислять его по формуле Ньютона–Лейбница;
• научиться исследованию несобственных интегралов первого и второго рода на сходимость и расходимость;
• научиться использовать определенный интеграл для решения геометрических задач, таких как вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги плоской кривой.
• знать основные понятия теории дифференциальных уравнений (порядок дифференциального уравнения, его общее и частное решения, начальные условия и др.) и уметь определять тип дифференциального уравнения;
• знать и уметь использовать методы решения основных типов дифференциальных уравнений 1-го порядка а также дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка;
• уметь решать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом повышения порядка.
Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по темам «Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения», и подробные решения примерных вариантов работ со ссылками на используемый справочный материал.
Методические указания по темАМ
«Интегральное исчисление функции одной переменной»
И «Дифференциальные уравнения»
В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.
Таблица 1.
| № к.раб. | № задачи | Содержание (темы) | Литература |
| 5 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 1 | Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям | [1], гл.VII, §29, 30; [3], гл.7, §1-4; [4], гл.IX, №1337-1350, 1368-1371, 1373- 1375; 1392-1396; [6], гл.6, № 2-14, 36-50, 102, 103, 108, 109, 114, 118-120 |
| 5 | 2 | Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых тригонометрических функций | [1], гл.VII, §31, 32; [3], гл.7, §5, 6.3; [4], гл.IX, №1410-1416, 1428-1434, 1489- 1490, 1494-1505; [6], гл.6, № 172, 177-180, 193, 194-199, 230-242 |
| 5 | 3 | Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода | [1], гл.VIII, §35-40; [3], гл.8, §1, 4-9, 11; [4], гл.X, №1552-1554, 1559-1560; 1572- 1578; [6], гл.6, № 255-266, 355-360, 366-369 |
| 5 | 4 | Приложение определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры | [1], гл.VIII, §41.1, 41.2; [3], гл.8, §10.1, 10.2; [4], гл.X, №1596-1601; [6], гл.6, № 290-294,301, 302 |
Окончание таблицы 1.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 5 | Приложение определенного интеграла: вычисление объема тела вращения | [1], гл. VIII, §41.4; [3], гл.8, §10.4; [4], гл.X, №1628-1631; [6], гл.6, № 319-323 |
| 5 | 6 | Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги плоской кривой | [1], гл. VIII, §41.3; [3], гл.8, §10.3; [4], гл.X, №1613-1618; [6], гл.6, № 307-312 |
| 6 | 1 | Дифференциальные уравнения 1-го порядка | [2], гл.I, §1.1, 1.2, 2.1-2.4; [3], гл.15, § 1.1- 1.6; [5], гл.IV, № 515-517, 550-556,603-608; [6], гл.14, № 32-38, 43-54, 61-64, 139-140 |
| 6 | 2 | Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка | [2], гл.I, §3.1, 3.2; [3], гл.15, § 2.1-2.2; [5], гл. IV, № 651, 652, 654, 659-665 |
| 6 | 3 | Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами | [2], гл.I, §3.4, 4.1, 5.1-5.3; [3], гл.15, § 3-4; [5], гл.IV, № 696-699; 721-726; [6], гл.14, № 98-111, 180, 184, 185 |
| 6 | 4 | Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка | [2], гл.I, § 6.1-6.2; [5], гл. IV, № 778-782; [6], гл.14, № 208-213 |
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.
Справочный материал по теме «Интегральное
исчисление функции одной переменной»
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство
. (1)Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида
, где .Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием. При интегрировании используют: таблицу интегралов (таблица 2), свойства интегралов и специальные методы интегрирования, основные из которых – замена переменной и интегрирование по частям.