записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников (стр. 2 из 8)

где

– коэффициенты уравнения (1.3).

Тогда модули всех корней

(k=1,…,n) уравнения удовлетворяют неравенству

, (1.4)

т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости

расположены внутри круга .

Следствие. Пусть

и . Тогда все корни уравнения (1.3) удовлетворяют неравенству

, (1.5)

т.е. корни уравнения (1.3) расположены в круговом кольце

.

1.2.3 Корни алгебраического уравнения

Если

– корни уравнения (1.3), то для левой части справедливо разложение

. (1.6)

Произведя перемножение биномов в формуле (1.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства (1.6), получим соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (1.3):

(1.7)

Если учитывать кратности корней, то разложение (1.6) принимает вид

,

где

–различные корни уравнения (1) и – их кратности, причем .

Производная

выражается следующим образом:

где Q(x) – полином такой, что

при k=1,2,…,m

Поэтому полином

является наибольшим общим делителем полинома

и его производной , и может быть найден с помощью алгоритма Евклида [4]. Составим частное

,

и получим полином

с действительными коэффициентами

, А₁, A₂,…, A_m, корни которого различны.

Таким образом, решение алгебраического уравнения с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкого порядка с различными корнями.

1.2.4 Число корней полинома в некоторой области

Полное число корней

уравнения , расположенных на комплексной плоскости внутри простого замкнутого контура Г, можно определить на основании следующей теоремы

Теорема 1.4. Если полином P(x) не имеет корней на замкнутом контуре Г, то число корней N этого полинома внутри контура Г в точности равно изменению Arg P(x) при положительном обходе контура Г, деленному на

, т.е.

Arg P(x),

причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Если уравнение контура Г есть

, ,

где t – параметр, то для определения числа N на плоскости XOY строят кривую

, , (1.8)

где

(X(t), Y(t) – действительные функции), и подсчитывают, сколько оборотов N делает кривая (1.9) делает вокруг начала координат.

1.2.5 Число действительных корней полинома

Общее представление о числе действительных корней уравнения (1.3) на интервале (a,b) дает график функции

, где корнями являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Отметим некоторые свойства полинома P(x):

1. Если P(a)P(b)<0, то на интервале (a, b) имеется нечетное число корней полинома P(x) с учетом их кратностей.

2. Если P(a)P(b)>0, то на интервале (a, b) существует четное число или не существует вообще корней полинома P(x).

Вопрос о числе действительных корней алгебраического уравнения на данном промежутке решается методом Штурма.

Определение. Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля:

, ,…, (1.9)

Говорят, что для пары рядом стоящих элементов

, системы (1.9) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т.е.

,

и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т.е.

.

Определение. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов

, системы (1.9) называется числом перемен знаков в системе (1.9).

Определение. Для данного полинома P(x) системой Штурма называется система полиномов [1]

, , , ,…, ,

где

, – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на , – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на и т.д.

Замечание 1. Если полином

не имеет кратных корней, то последний элемент системы Штурма есть отличное от нуля действительное число.

Замечание 2. Элементы системы Штурма можно вычислять с точностью до положительного числового множителя.

Обозначим через N(c) число перемен знаков в системе Штурма при x=c, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

Теорема 1.5. (теорема Штурма). Если полином P(x) не имеет кратных коней и

, , то число его действительных корней на интервале в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома при переходе от до , т.е.