записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников (стр. 3 из 8)
.Следствие 1. Если
, то число 
положительных и число 
отрицательных корней полинома 
соответственно равны 
, 
.Следствие 2. Для того чтобы все корни полинома P(x) степени n, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.Таким образом в уравнении (1.3) все корни будут действительными тогда и только тогда, когда:
1) система Штурма имеет максимальное число элементов n+1, т.е. m=n;
2) выполнены неравенства
, т.е. старшие коэффициенты всех функций Штурма 
должны быть положительными.С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраического уравнения, разбивая интервал (a,b), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов
таких, что 
. Так как построение системы Штурма, вообще говоря, требует громоздких вычислений, то на практике ограничиваются более простыми частными приемами подсчета числа действительных корней алгебраический уравнений.
Определение. Пусть дана конечная упорядоченная система действительных чисел
, 
, …, 
, (1.10)
где
и 
.С одной стороны, назовем нижним числом перемен знаков системы (1.10) число перемен знаков в преобразованной системе (1.10), где нулевые элементы
(
, 
) заменены элементами 
такими, что 
.Очевидно, что если система (1.10) не имеет нулевых элементов, то число N перемен знаков в этой системе по смыслу совпадает с ее нижним
и верхним 
числами перемен знаков: 
,вообще же говоря,
.Теорема 1.6. (теорема Бюдана–Фурье). Если числа a и b (a<b) не являются корнями полинома P(x) степени n, то число N(a, b) действительных корней уравнения P(x)=0, содержащихся между а и b, равно минимальному числу
перемен, знаков потерянных в системе последовательных производных 
, 
, 
, …, 
, …, 
(1.11)
при переходе от x=a к x=b, или меньше числа
на четное число, т.е. 
,где
и
– нижнее число перемен знаков в системе (1.13) при x=a, 
– верхнее число перемен знаков в этой системе при x=b 
.Предполагается, что каждый корень уравнения (1.3) считается столько раз, какова его кратность. Если производные
не обращаются в нуль при x=a и x=b, то подсчет знаков упрощается, а именно: 
.Следствие 1. Если
, то между a и b нет действительных корней уравнения (1.3)Следствие 2. Если
, то между a и b имеется ровно один действительный корень уравнения (1.3).Замечание. Для подсчета числа потерянных знаков
в системе (1.11), пользуются схемой Горнера, составляют два разложения: 
(1.12)и
. (1.13)Пусть
– нижнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.12) и соответственно 
– верхнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.13). Так как 
, 
,то знаки чисел
и 
совпадают со знаками системы (1.13) при x=a и x=b. Поэтому 
.Теорема Декарта. Число положительных корней алгебраического уравнения (1.3) с учетом их кратностей равно числу перемен знаков в системе коэффициентов
, 
, …, 
(1.14)
(где коэффициенты, равные нулю, не учитываются), или меньше этого числа на четное число.
Теорема Декарта представляет собой применение теоремы Бюдана–Фурье к интервалу
.Следствие. Если коэффициенты уравнения (1.3) отличны от нуля, то число отрицательных корней этого уравнения, с учетом их кратностей, равно числу постоянств знака в системе (1.14) его коэффициентов или меньше этого числа на четное число. (Доказательство этого утверждения следует из применения теоремы Декарта к полиному
).Укажем также признак вещественности всех корней полинома
.Теорема Гюа. Если уравнение (1.3) имеет действительные коэффициенты и все корни его действительны, то квадрат каждого не крайнего коэффициента этого уравнения больше произведения двух его соседних коэффициентов, т.е. выполнены неравенства
.Следствие. Если при каком-нибудь k выполнено неравенство
,то уравнение (1.3) имеет по меньшей мере одну пару комплексных корней.
1.3 Метод Лобачевского–Греффе для приближенного решения алгебраических уравнений