Смекни!
smekni.com

Г. П. Прокопов Вариационные методы (стр. 2 из 8)

Таким образом, функционал (1.8)-(1.9) отличается от (1.1)-(1.2) только отсутствием в знаменателе якобиана отображения. Как отмечалось в [1], такое решение было принято авторами работы [5], в которой (см. стр. 1034) был предложен функционал (1.8)-(1.9), сознательно, чтобы упростить проблему решения возникающих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Если сделать назначение метрических параметров G согласно (1.5), то минимизация функционала (1.8)-(1.9) приводит к абсолютному минимуму F*, равному площади области W.

Следовательно, посредством назначения (1.5) функционал (1.8)-(1.9) тоже воспроизводит любое отображение. Таким образом, функционалы F и F* можно считать универсальными генераторами сеток.

В частности, если полагать

(1.10)

,
,

то реализуются отображения, обычно называемые гармоническими, как и соответствующие им сетки. В функционале F тогда плотность энергии отображения

, а в функционале F* величина
. В качестве вариационных уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала F* в этом частном случае (1.10) очевидно получаются уравнения Лапласа

(1.11)

,
.

Для функционала F после некоторых преобразований (см., напр., [3], стр. 7-8) в качестве следствия вариационных уравнений получаются обращенные уравнения Лапласа:

(1.12)

Принято считать, что применение уравнений (1.12) в практике расчета сеток восходит к работе [6].

Для уравнений (1.11) автором построен пример, в котором для области простой формы получается вырожденное отображение (см., напр., [1], стр. 8). Ранее более громоздкий пример был описан в [3], стр. 5-6. Поэтому при произвольном назначении матрицы

функционал (1.8)-(1.9) невырожденности отображения не гарантирует.

В свою очередь для функционала (1.1)-(1.2) в дискретной форме в работе [7] доказано, что он дает невырожденное отображение при произвольных положительно определенных матрицах

. Это его несомненное преимущество. Однако и функционал (1.8)-(1.9) имеет ряд других преимуществ по сравнению с (1.1)-(1.2). Поэтому считаем целесообразным в дальнейшем рассматривать оба этих функционала.

Для наглядности будем называть (1.1)-(1.2) функционалом с якобианом, а (1.8)-(1.9) – функционалом без якобиана.

Вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала без якобиана имеют вид:

(1.13)

Назовем их системой S*[G]. Она является линейной при заданных

. Аналогичная, но гораздо более громоздкая нелинейная система уравнений получается для функционала с якобианом. В качестве ее следствия в работе [7] на стр. 49 получены нелинейные уравнения, обобщающие (1.12) на случай произвольных матриц
. Для полноты изложения приведем их вид в наших обозначениях:

(1.14)

,

где

,

,

Назовем их системой S[G].

Интересно отметить, что по своей структуре они похожи на уравнения, приведенные в [3] на стр. 8, которые получаются после введения дополнительной замены переменных в уравнениях (1.12).

Относительная простота и линейность вариационных уравнений (1.13) по сравнению с (1.14) является существенным преимуществом функционала без якобиана.

§ 2. Нестационарная задача для сетки.

Перейдем теперь к вопросу о конструировании сеток при расчетах нестационарных задач с подвижными границами.

Пусть N – номер очередного шага по времени t,

- величина шага по временной координате t,
- сетка, полученная на предыдущем шаге. Вектор
содержит две пространственные координаты (х,у) и, в дискретном варианте, о котором речь пойдет в § 3, значения этих координат во всех узлах расчетной сетки.

Для определенности пусть рассматривается некоторая газодинамическая задача без конкретизации ее содержания. В соответствии с общепринятой схемой расщепления расчет очередного шага состоит из нескольких этапов.

На I этапе осуществляется движение границ расчетных областей. Оно обусловлено теми или иными физическими законами и конкретным распределением физических величин в окрестности границы на текущий момент времени. Абстрагируясь от них, будем предполагать, что последовательности

определяют положение границ на предыдущем шаге и превращаются в последовательности
для очередного рассчитываемого шага. Очевидно можно полагать, что

(2.1)

Условимся подразумевать, что (2.1) и аналогичные равенства в дальнейшем выполнены для каждой из координат вектора

.

По соображениям, изложенным в [8], в качестве II этапа расчета целесообразно вычислить величины сдвига граничных узлов сетки

(2.2)

,

затем по интерполяционным формулам рассчитать значения сдвига

для внутренних узлов сетки и получить начальное приближение

(2.3)

для узлов сетки N-го шага. Граничные узлы при этом занимают правильное положение, которое при дальнейшем расчете сетки текущего шага изменяться не будет.

Обсуждение интерполяционных формул отложим до § 6.

Из них будет очевидно, что

(2.4)

Перейдем теперь к III этапу – назначению матриц коэффициентов G для описанных выше функционалов.

Предлагается использовать для этого метрические параметры сетки, полученной на предыдущем шаге по времени:

(2.5)

.

Как описано выше в § 1, такое назначение будет воспроизводить сетку предыдущего шага, т.е.

(2.6)

для функционала (1.1)-(1.2),

для функционала (1.8)-(1.9).

В силу (2.4), можно полагать, что

(2.7)

и аналогично для второго функционала.

Конечно, строго говоря, при этом необходимо формулировать требования, которые нужно накладывать на гладкость границ области, гладкость текущей сетки и т.п. Мы их опускаем, тем более, что практически эти требования необходимо формулировать для дискретного варианта, который будет описан позже в § 3.

При хорошей обусловленности систем уравнений можно было бы полагать также, что искомые сетки

, определяемые из уравнений:

или
, удовлетворяют условию:

(2.8)

.

Это полностью решало бы проблему конструирования сеток при расчете нестационарных задач. К сожалению, на практике дело обстоит хуже. При назначении (2.5) рассматриваемые функционалы обнаруживают «равнодушие» к судьбе конструируемой сетки, поскольку для любой сетки значение функционала близко к абсолютному минимуму, отличаясь от него лишь на величину порядка

из-за отклонения граничных условий (2.1). При отсутствии обратной связи ухудшение качества сетки постепенно может приводить к необратимым последствиям, вплоть до «авостных». Поэтому назначение (2.5) необходимо корректировать.

В работе [1] при расчете стационарных сеток (для областей с фиксированными границами) рассматривался один из возможных вариантов такой корректировки метрических параметров (см.[1], стр.25):