Г. П. Прокопов Вариационные методы (стр. 7 из 8)
Для задания управляющих функций
в практике расчетов успешно используются так называемые законы расстановки узлов сетки вдоль границ, описанные в монографии [2] на стр. 180-182: 
; 
.В работе [15] на простом методическом примере построения сетки для выпуклого четырехугольника с прямолинейными границами обнаружились некоторые (в чем-то неожиданные) результаты при (специально придуманных) неравномерных расстановках узлов сетки на граничных отрезках.
Например, оказалось, что задание в качестве значений управляющих функций
(6.2)
, 
дает для рассматриваемой области (четырехугольник с прямолинейными границами) невырожденную сетку при произвольных расстановках узлов на контуре. А вот в случае задания
(6.3)
, 
, 
, 
,казалось бы, более естественного, чем (6.2), строятся примеры таких расстановок узлов, при которых сетка оказывается вырожденной. Тем более неудовлетворительный результат могут давать формулы:
(6.4)
, 
.Заметим, что в случае произвольных областей и формулы (6.2) могут давать неудовлетворительный результат (поэтому и приходится конструировать сложные алгоритмы построения сеток). Однако «живучесть» интерполяционных формул, использующих (6.2), существенно выше, чем использующих (6.3) и (6.4).
Что касается скоростей движения узлов сетки, рассчитываемой по интерполяционным формулам с использованием (6.1), то очевидно следующее. Наличие в формуле (6.1), наряду с положительными, отрицательных весовых коэффициентов для угловых точек, позволяет легко строить примеры, когда скорости внутренних узлов сетки выходят за пределы, в которых изменяются скорости граничных узлов. Это может иметь место для каждой из двух координат х и у и, тем более, для полной скорости узла. В § 3 обращалось внимание на аналогичную ситуацию в системе линейных уравнений (3.11).
Это обстоятельство затрудняет автоматизацию контроля скоростей сетки в практических расчетах. Можно, например, в ходе расчета вычислять максимальную скорость узлов сетки на границах расчетной области Wгр и максимальную скорость внутренних узлов Wвн . Но какое отклонение Wвн от Wгр можно считать допустимым?
Обратим внимание, что описанные алгоритмы построения сеток могут использоваться также для перестройки сетки при зафиксированных границах области (в целях получения сетки, более приемлемой для расчета основной задачи.
В процессе перестройки Wгр=0, а Wвн¹0.
Заключение
Подведем итог изложенному. Для конструирования сеток в нестационарных двумерных расчетах предлагается использовать в качестве опорных функционалов (1.1)-(1.2) или (1.8)-(1.9). Входящие в них коэффициенты вычисляются как метрические параметры сетки, полученной на предыдущем временном шаге нестационарного расчета.
При тщательно выполненной дискретизации этих функционалов удается получить систему уравнений, которая при подстановке в нее сетки предыдущего шага в качестве невязки будет давать тождественный нуль. Поэтому при граничных условиях, отвечающих новому моменту времени, невязки будут величинами порядка шага по времени t. Следовательно, можно ожидать, что и скорости узлов сетки окажутся лежащими в разумных пределах по отношению к скоростям движения границ. В силу изложенного в предыдущем § 6 более четкое утверждение сделать трудно.
Использование «чистых» опорных функционалов при отсутствии обратной связи может приводить к тому, что в ходе нестационарного расчета сетка будет необратимо портиться, становясь непригодной для расчета основной задачи, для которой она и конструируется. Чтобы этому препятствовать, к опорным функционалам могут подключаться со своими весовыми коэффициентами
другие функционалы.В простейшем варианте это реализуется посредством формулы (2.16) для корректировки коэффициентов
. Условно можно говорить, что с помощью коэффициента p0 подключается функционал «ортогональности», а коэффициента pГ – гармонический.В случае функционала (1.8)-(1.9) без якобиана реализуется система разностных уравнений (3.11) с коэффициентами (3.12)-(3.13). Из этих формул видно, что корректировка (2.16) сводится к увеличению коэффициентов cL в системе уравнений (3.11). Вопрос о том, какие функционалы подключать для корректировки и с какими весовыми коэффициентами, должен стать предметом специальных экспериментальных исследований.
Теперь уместно обсудить вопрос о том, какой из двух функционалов (с якобианом или без) стоит предпочесть. Как уже отмечалось, функционал с якобианом гарантирует невырожденность сетки при любом задании положительно определенных симметричных матриц коэффициентов G, а функционал без якобиана этого не гарантирует. Однако следует заметить, что при малых коэффициентах корректирующих функционалов фактически работа будет происходить в окрестности опорных функционалов. А они оба дают практически тождественные результаты, воспроизводя сетку предыдущего временного шага, которая предполагается невырожденной. Следовательно, при достаточно малых значениях параметров p* можно надеяться, что и функционал без якобиана обеспечит получение невырожденной сетки.
Весьма важную роль при этом играет присутствие в знаменателе функционала (1.8)-(1.9) якобиана G0 для сетки предыдущего шага по времени. Кроме того, в процессе расчета на каждой итерации контролируется, чтобы сетка не стала вырожденной.
Эти аргументы дополняются преимуществами функционала без якобиана. Прежде всего, таким является линейность уравнений (3.11), благодаря чему коэффициенты (3.12) остаются неизменными на всех итерациях. Матрицу этих коэффициентов (8 чисел в каждом внутреннем узле сетки) можно вычислить на каждом шаге один раз и использовать на всех итерациях. При этом расчет итерации сводится к простым формулам (4.1) и контролю получающейся сетки на выпуклость. В такой ситуации необременительным будет и большое число итераций, если в этом возникнет необходимость. Для функционала с якобианом расчетные формулы существенно сложнее, а следовательно возрастают и затраты времени расчета.
Практически, по-видимому, целесообразно иметь в арсенале алгоритмов построения сеток оба функционала, но прибегать к использованию функционала с якобианом только после того, как исчерпаны возможности функционала без якобиана.
Заметим, что на практике этому, как правило, предшествует этап, когда сетка рассчитывается просто по интерполяционным формулам. Он используется до тех пор, пока дает приемлемые сетки.
Важным принципиальным отличием предлагаемой технологии является то, что переход от интерполяционного этапа к использованию функционалов должен проходить относительно безболезненно (без возникновения недопустимых скоростей узлов) благодаря изложенной выше идеологии опорного функционала. Также обстоит дело и в случае необходимости смены управляющих параметров в самих функционалах.
Однако, как показывает практика расчетов, этот тезис реализуется только в том случае, если такая перестройка начинается «заблаговременно», чтобы иметь достаточный «запас времени», не приводящий к катастрофическим последствиям для основной задачи.
С точки зрения «живучести» алгоритмов построения сеток и, самое главное, пригодности получающихся сеток для последующего решения основной задачи весьма важен вопрос о том, допускать или не допускать невыпуклость ячеек сетки. Этот вопрос обсуждался в § 5. Представляется целесообразным (если такое решение допустимо) уже в исходных данных избавиться от невыпуклых ячеек и в дальнейшем не допускать их появления (предусмотрев это в программе контроля качества сетки). В § 4 были описаны возможности реализации такого предложения путем автоматизированного подбора итерационного параметра
.Несмотря на все сказанное, автор далек от того, чтобы претендовать на создание полностью автоматизированных алгоритмов построения сеток, позволяющих считать нестационарные задачи без вмешательства исполнителя. Допустим, что удастся экспериментально отработать технологию подключения корректирующих функционалов, упомянутых выше. Заметим, что это должно быть реализовано в виде конкретных рекомендаций, которые обеспечили бы работу методики не в руках ее создателя, а в руках исполнителя расчетов. (Конечно, идеальным было бы автоматизированное назначение управляющих параметров на каждом шаге расчета, исходя из конкретной сложившейся ситуации).