В качестве одного из существенных признаков задачи, проблемы, проблемной ситуации психологи называют обычно необходимость преодоления субъектом тех или иных трудностей (затруднений). При этом важную роль играет их качественный анализ. Мы, однако, ограничимся рассмотрением количественного аспекта трудности задач, или, иначе говоря, уровня их трудности.
Задача mq, отнесенная к решателю Q, обладающему некоторыми (ограниченными) ресурсами, может быть охарактеризована уровнем трудности этой задачи, т. е. мерой фактического или предполагаемого (прогнозируемого) расходования ресурсов решателя Q на ее решение.
Уточним, что «решение задачи» имеется в виду успешное решение – приведение предмета задачи в требуемое состояние. Если ресурсы решателя Q недостаточны (в качественном или количественном отношении) для решения задачи mq, то последняя не может быть решена (этим решателем). Об уровне трудности задачи mq в таком случае можно говорить лишь условно (считая его бесконечным). Если решение задачи достигается лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы, то уровень ее трудности естественно считать большим, чем следует из оценки реально расходуемых ресурсов.
Уровнем трудности, как он определен выше, можно в принципе характеризовать и задачи, отнесенные к искусственным решателям, например компьютерам. Вместе с тем для неотнесенных задач понятие трудности лишено смысла.
Уровень трудности отнесенной задачи mq зависит от характеристик как неотнесенной задачи М, так и решателя Q. Как явствует из приведенного выше определения уровня трудности, это понятие непосредственно относится не к задаче как таковой, а к процессу (реальному или предполагаемому) ее решения. Если некоторая задача может быть решена различными способами, то уровень ее трудности может существенно зависеть от того, каким именно способом она решается.
Имеет смысл различать интегральную трудность (трудоемкость) задачи, характеризующую объем расходования ресурсов и дифференциальную трудность, характеризующую интенсивность расходования. При этом можно выделять мгновенные значения последней и значение, усредненное на отрезке времени, в течение которого решается задача.
Для количественной оценки трудности решаемых людьми задач используют различные показатели – субъективные и объективные.
Субъективные показатели можно разделить на две группы. Показатели первой группы отражают мнения или впечатления самих субъектов, решающих задачи, об их трудности, о вызванном ими утомлении, а показатели второй группы – мнения экспертов (учителей и методистов в случае учебных задач, руководителей работ в случае трудовых задач и т. д.). Субъективные показатели обеих групп используются, в частности, для характеристики трудности текстов, в том числе учебных.
На две группы делятся и объективные показатели. К первой относятся те из них, которые характеризуют расходование ресурсов субъектом. Сюда, в частности, входят:
а) физиологические показатели, например изменения частоты пульса, частоты дыхания, артериального давления;
б) продолжительность процесса решения;
в) дискретные поведенческие показатели, характеризующие объем расходования ресурсов (объем затраченного труда), такие, например, как количество предпринятых субъектом попыток решения задачи.
Чтобы повысить адекватность оценивания трудности задач, обращаются к методам математической статистики. Так, Я. А. Микк [3], измерив значения 31 показателя трудности задачи понимания текста и проведя факторный анализ, выделил фактор, который он интерпретировал как «суммарную трудность текста». На основе результатов анализа получен ряд формул, связывающих этот фактор с отдельными показателями трудности, доступными непосредственному измерению.
В отличие от трудности, представляющей собой специфическую характеристику задач, сложность – это характеристика, применимая к любой системе. Общее понятие об уровне сложности системы может касаться, в частности, таких систем, как предмет задачи, задачная система или формулировка задачи. Мы, однако, говоря об уровне сложности задачи, имеем в виду сложность не какой-либо из этиx систем, а реального или предполагаемого процесса решения задачи. Такая трактовка, в наибольшей степени соответствует интуитивному представлению о сложности задачи. К тому же при указанной трактовке уровня сложности задачи достигается полный параллелизм с понятием об уровне ее трудности, которое, характеризует реальный или предполагаемый процесс решения задачи. Трактуемое описанным образом понятие об уровне сложности задачи так же, как и понятие об уровне ее трудности, имеет смысл только для отнесенных задач. При этом, однако, в отличие от понятия об уровне трудности понятие об уровне сложности применимо и к задачам, отнесенным к идеализированным решателям, ресурсы которых можно считать бесконечными. Понимая сложность задач как сложность процессов их решения, можно рассматривать, с одной стороны, реальные или возможные процессы решения задач разными решателями и, с другой стороны, процессы их решения нормативными способами. В соответствии с этим имеет смысл различать два вида сложности задач: реальную, т. е. сложность реального или возможного процесса решения задачи, и нормативную, т. е. сложность процесса ее решения нормативным способом.
Если существует несколько нормативных способов решения некоторой задачи MQ, то ее можно охарактеризовать несколькими значениями нормативной сложности. Например, одна и та же математическая задача может обладать для одного и того же решателя разной сложностью в зависимости от того, как ее решать – арифметическим или алгебраическим способом.
Реальная сложность задачи, как правило, выше или равна нормативной, но иногда бывает и ниже, т. е. фактический процесс решения оказывается проще нормативного (например, задуманного учителем, если рассматривается решение задач учащимися). В таких случаях говорят иногда о «красивом (изящном) решении».
Обычно, если уж различают понятия о трудности и сложности задач, то трактуют «сложность задачи как объективную категорию и трудность как субъективную категорию». Мы процитировали И. Я. Лернера, поясняющего, что «трудность характеризует возможность субъекта преодолеть объективную сложность задачи...». С нашей точки зрения, такая трактовка правомерна в качестве первого приближения к раскрытию существа дела. Более детальный анализ показывает, однако, что и трудность, и сложность задач (отнесенных к людям, которые решают или должны решать их) зависят как от объективных, так и от субъективных (в онтологическом смысле) факторов. К объективным принадлежит: лежащий вне субъекта предмет задачи или (для познавательных задач) объект познания; требование задачи, находящееся вне субъекта (в случае, если рассматривается трудность или сложность внутренней задачи, – требование внешней задачи, являющейся источником возникновения рассматриваемой внутренней); наконец, условия, в которых осуществляется или должно осуществляться решение задачи. К субъективным факторам относятся способности и подготовка субъекта, его мотивы и установки, его отношение к задаче, его физическое и психическое состояние.
И. Ф. Шарыгин [8] достаточно широко описал в своей статье стандарты математического образования.
Принято считать, что российское математическое образование является едва ли не лучшим в мире. Такого мнения придерживаются многие российские и зарубежные специалисты. Мы полагаем, что, несмотря на очевидный спад, произошедший за последнее время, российское математическое образование сохранило свой высокий уровень и обладает еще большим потенциалом для своего развития. И нужны для этого весьма незначительные финансовые вложения. Эффект же, причем экономический эффект, может оказаться существенным. Мы вправе рассматривать наше математическое образование, как весьма мощный стратегический ресурс России. При этом в качестве стратегического ресурса математика и математическое образование может выступать и внутри России и на внешнем рынке. (В условиях глобализации Россия может специализироваться на экспорте нефти и математики.) Но в таком случае, вопрос о том, какими должны быть стандарты математического образования, далеко выходит за узко предметные рамки и становится важнейшим общественно-политическим вопросом.
Понятно, что заявить в качестве образовательного стандарта по математике повышенный уровень математических классов не реально. Понимание же стандарта, как минимального уровня стратегически неверно. Будем считать, что образовательный стандарт (по математике) должен соответствовать нормальному, программному уровню, проще говоря, четверке. От этой площадки, отступив вниз, мы получаем минимальный уровень (тройку). Ступенька вверх и далее - получаем высокий уровень, пятерку. Безусловно, минимальный уровень следует ограничить снизу. Основным инструментом измерения соответствия тому или иному уровню является задача. Некоторое исключение составляет уровень минимальный, где не менее важным мы считаем знание и понимание теории.
Из этого следует, что при разработке стандарта математического образования важно не просто определить содержание математических курсов, а определить в некотором смысле оптимальное содержание, которое в наибольшей мере будет способствовать общематематическому (и не только) развитию учащихся. И при определении содержания вредными могут оказаться оба подхода, как минимизация содержания математического образования, так и его чрезмерное разрастание. На минимальном содержании невозможно развитие математической культуры, освоение математического метода по понятным причинам. Но также нельзя хорошо освоить математику, развить математическую культуру при перегруженной программе. Чрезмерное обилие изучаемых тем приведет к тому, что каждая из них будет изучаться формально и поверхностно. При отборе содержания основным критерием должна быть значимость того или иного раздела для общематематического развития учащегося. Отсюда можно вывести концентрический принцип определения содержания математических курсов и построения стандартов математического образования. На периферию отправляются менее значимые темы и разделы.