«2010г.» (стр. 4 из 6)
Очевидно также, что эффективность обучения математике в решающей степени определяется объемом часов, отводимых на ее изучение. В настоящий момент математическая экспертиза указывает в качестве нижней грани, после которой эффективность изучения математики в школе начнет резко снижаться, 6 часов в неделю в основной и старшей школе.
Заметим, что стандарты по различным предметам нельзя подгонять под единый концептуальный трафарет, разрабатывать по единой схеме. Сегодня в школе мы имеем предметы, которые можно разделить на четыре цикла (типа): гуманитарный, естественно-научный, математический и физкультурный. Особенность математики, которая должна отражаться и в соответствующих стандартах, в том, что в ней явно видны черты, характерные для предметов всех других циклов, а также и черты, типичные именно для математики.
Стандарты математического образования следует разбить на несколько групп. Во-первых, стандарт для базовой школы и стандарт для углубленного изучения математики. Во-вторых, стандарт для результата обучения и стандарт для процесса обучения. Представляется разумным не разрабатывать специально стандарт для углубленного изучения математики, а сделать добавление (сверху) к стандарту базовой школы, сдвинув при этом измерительную шкалу. Что касается связи между процессом и результатом обучения, то очевидным является утверждение, что для достижения необходимого результата процесс обучения доложен вестись на более высоком уровне, чем тот, который мы хотим видеть в итоге, хотя, конечно, мы не должны его завышать и создавать разрыв между стандартами для процесса и для результата. Кроме того, качество процесса обучения зависит от качества учебников. Но еще больше оно зависит от подготовки учителя, от нагрузки, ложащейся на учителя, и, наконец, от его материального положения.
Нетрудно заметить, что в приведенном выше стандарте школьного математического образования речи о рассмотрении задач повышенной трудности и не идет, видимо, из-за нехватки часов, выделяемых на уроки или другого фактора. Но в государственный экзамен по математике такие задачи включаются. Тогда возникает вопрос: а как учащиеся должны сдавать его?
В современных условиях существует противоречие между потребностью и необходимостью формировать эвристическую деятельность учащихся и отсутствием эффективного методического обеспечения в этом.
Все-таки нестандартным задачам, задачам повышенной трудности необходимо уделять внимание, если этого не удается делать на уроках, то на факультативах и дополнительных занятиях. И прежде всего, стоит убедить учащихся, как важны для них трудные задачи.
§5. Дидактическая система задач повышенной трудности на тему «Многоугольники»
В современной методике преподавания объектом исследования становится не столько отдельная задача и организация работы с ней, сколько совокупности, блоки, циклы, системы задач.
Дидактическая система – это выделенное по определенным критериям целостное образование. Нам нужно получить дидактическую систему задач, которую определим как некоторую совокупность задач, находящихся во взаимосвязи друг с другом и выполняющих определенные дидактические функции в процессе обучения.
При составлении данной системы мы учитываем и характеристики дидактической системы:
· целостность структуры;
· единство целей, организационных принципов;
· единство содержания, форм и методов обучения [5].
Для того чтобы правильно составить дидактическую систему задач повышенной трудности, нам необходимо разобраться, чем же отличается задача повышенной сложности от задачи повышенной трудности.
Задача повышенной сложности представляет собой задачу, которую мы разбиваем на несколько подзадач для облегчения решения задачи. Задача же повышенной трудности так же разбивается на несколько подзадач, но для того чтобы решить эти подзадачи, мы должны владеть фактами, свойствами, теоремами геометрии, которые не входят в учебную программу курса геометрии.
Например, если открыть учебник Атанасяна 7 – 9 класс на теме многоугольники, задач повышенной трудности мы не обнаружим вообще. Там представлены тривиальные задачи на поиск сумм углов пятиугольников, шестиугольников и т.д. И рассмотрена лишь
Теорема Фалеса, хотя, как мы знаем, существует достаточное количество теорем, не входящих в школьный курс геометрии, но позволяющих решать задачи, повышенной трудности. Такие теоремы, как Теорема Брахмагупты (Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке M, то прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.) или Теорема Птолемея (Произведение длин диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.).
Мы составили дидактическую систему задач повышенной трудности на тему «Многоугольники», сюда будут входить задачи, для решения которых необходимо использовать Теоремы Птолемея, Паскаля, гомотетию, преобразования фигур и т.д. Этой системой задач можно будет пользоваться учителю, как было сказано ранее, на факультативах и дополнительных занятиях на геометрии.
Основные сведения [6]:
1. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющий его соседние вершины.
2. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности. Выпуклый четырехугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD.
Выпуклый многоугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности. Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда
ABC + CDA = DAB + BCD.3. Выпуклый многоугольник называют правильным, если все его стороны равны и все углы также равны.
Выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на угол 2π/n с центром в некоторой точке О он переходит в себя. Точку О называют центром правильного многоугольника.
I. Вписанные и описанные четырехугольники:
1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и CD пересекаются в точке Р, а лучи BC и AD — в точке Q. Доказать, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: AB + CD = BC + AD, AP + + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.
Решение:
1) Докажем, что если четырехугольник ABCD описанный, то выполняются все условия. Пусть K, L, M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, CD и DA. Тогда AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + +BL + CL + DN = BC + AD, AP + CQ = AK + PK + QL - CL = AN + PM + QN - CM = AQ + CP и BP + BQ = AP – AB + +BC + CQ = (AP + CQ) + (BC - AB) = AQ + CP + CD – AD = DP + DQ.
2) Докажем теперь, например, что если BP + BQ = DP + DQ, то четырехугольник ABCD описанный. Рассмотрим для этого окружность, касающуюся стороны ВС и лучей BA и CD. Предположим, что прямая AD не касается этой окружности; сдвинем эту прямую так, чтобы она коснулась окружности (рис. 1).
3) Пусть S — такая точка прямой AQ, что Q'S || DD'. Так как BP + BQ = DP + DQ и BP + BQ' = D'P + D'Q', то QS + SQ' = QQ' – противоречие. В двух других случаях доказательство проводится аналогично.
Рис. 1.
2. На стороне ВС треугольника АВС взяты точки К1 и К2. Доказать, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2 и общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников АВК2 и АСК1 пересекаются в одной точке.
Решение:
1) Пусть O — точка пересечения общих внешних касательных к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2 (рис. 2). Проведем из точки О касательную l к вписанной окружности треугольника, образованного прямыми AK1, AK2 и касательной к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2, отличной от прямой ВС.
2) Пусть прямая l пересекает прямые АВ и AK2 в точках В' и К'2. Четырехугольник BK2K'2B' описанный. Значит прямая l касается вписанной окружности треугольника АВК2.
3) Аналогично доказывается, что прямая l касается вписанной окружности треугольника АСК1.
Рис. 2.
3. Четырехугольник ABCD вписанный. Доказать, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB образуют прямоугольник.