«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 2 из 9)
Итак, мы видим, что в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объекта два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов.
Довольно часто анализ задачи сопряжен с большими трудностями.
Задача3. Две окружности касаются в точке
и касаются одной и той же прямой соответственно в точках 
и 
. Какую фигуру образует множество всех точек , если радиусы данных окружностей будут принимать всевозможные значения?На первый взгляд кажется, что в задаче речь идет о двух окружностях. Но прочтите еще раз внимательно вопрос задачи: требуется установить, какую фигуру образуют точка
(точка - переменная). Значит, речь идет о множествах окружностей и множестве точек их касания. Исходя из этого, задачу можно расчленить на такие условия:1. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой в данной на ней точке
.Здесь объектом является множество окружностей, а их характеристикой – свойство каждой окружности этого множества: она касается данной прямой в точке
.2. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой (с той стороны, что и первое множество окружностей) в данной точке
.Объект и характеристика этого условия аналогичны первому условию.
3. Из этих двух множеств образованы такие пары окружностей, причем первый элемент пары есть окружность первого множества, а второй элемент пары – окружность второго множества, которые взаимно касаются.
Объектом этого условия является множество пар окружностей, а их характеристикой – отношение: окружности, входящие в пару, взаимно касаются.
Заметим, что в это множество пар окружностей войдут не все окружности первого и второго множеств окружностей, а лишь те из них, которые удовлетворяют указанному отношению (взаимное касание).
4.
- есть точка, в которой взаимно касаются соответствующие окружности, входящие в образованные пары (по 3 условию). Объектом этого условия является точка (переменная точка), а ее характеристикой - свойство: эта точка есть точка касания окружностей, входящих в пару.5. Множество точек
есть некоторая геометрическая фигура. Объектом условия является множество точек взаимного касания окружностей, входящих в пары, а характеристикой – искомое свойство этого множества как геометрической фигуры.Требование задачи состоит как раз в том, чтобы найти эту последнюю характеристику объекта пятого условия.
Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которую мы использовали выше, конечно, малоудобна. Более удобной, компактной и в то же время достаточно наглядной формой записи результатов анализа задач является схематическая запись задачи (модель задачи).
Для схематической записи геометрических задач полезно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнить ряд требований. Укажем главные из них.
1. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур) с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в задаче никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми обозначениями или придумать наиболее удобные.
2. Этот чертеж должен соответствовать задаче. Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта названа трапеция, но не указан ее вид, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т.д.
3. При построении чертежа нет надобности выдерживать строго какой-либо определенный масштаб. Однако желательно соблюдать какие-то пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Например, если задана медиана треугольника, то соответствующий ей отрезок на чертеже должен проходить приблизительно через середину стороны треугольника и т.д. Точно так же надо соблюдать на чертеже такие отношения, как параллельность, перпендикулярность и др.
4. При построении чертежей пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения. Там, где это можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.
Кроме чертежа, для схематической записи геометрических задач используется еще краткая запись всех условий и требований задачи. В этой краткой записи, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условиях задачи. Названия фигур или отдельных ее частей желательно заменить записью их определений.
§3. Сущность и структура решения задач
Что значит решить задачу? Можно ответить так: решить задачу – это значит найти ее ответ. В какой-то степени это верно, но все дело в том, как понимать слово «найти». Можно ли считать, что человек решил задачу, если он, например, подсмотрел в ответы задачника, ведь он по сути нашел ответ. Очевидно, что нет. Значит, решение задачи состоит не просто в том, чтобы найти ответ. Чтобы разобраться в этом, придется внимательно приглядеться к процессу решения задачи.
Задача4. Длины оснований трапеции равны 4см и 10см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Сначала посмотрим схематическую запись задачи.Дано:
см; 
см.Найти:
и 
.Решение. Как известно, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Значит,
и 
. Диагональ 
делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим каждый из них. В треугольник 
отрезок является средней линией, ибо 
как часть отрезка , и точка 
по условию есть середина стороны 
. А средняя линия треугольника равна половине основания. Значит, 
, а так как 
см, то 
5см.Аналогично, рассматривая
, мы убеждаемся, что есть средняя линия этого треугольника и поэтому 
, но см, следовательно, 
см.Итак, искомые длины отрезков найдены, задача решена.
Приведенное решение можно представить в виде схемы.
| № шага | Общие положения математики | Условия задачи или их следствия | Результат |
| 1 | Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. | MN – средняя линия трапеции ABCD. | MN//AB, MN//CD/ |
| 2 | Диагональ делит трапецию на два треугольника. | ABCD – трапеция, AC – ее диагональ. | ABC и ACD – треугольники. |
| 3-4 | Отрезок, проходящий через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией треугольника. | В ΔABC точка N – середина BC и NK//AB, в ΔACD точка M - середина AD и MK//CD. | NK – средняя линия ΔABC, MK – средняя линия ΔACD. |
| 5-6 | Средняя линия треугольника равна половине основания. | NK – средняя линия ΔABC, AB=10см, MK – средняя линия ΔACD, CD=4см. |  см  см |
Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод: