«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 4 из 9)
Дано: 
- равнобедренный, 
, 
- окружность радиуса 1, 
.Найти:
.Решение: Прежде всего, нужно провести расчеты, которые позволят выяснить местоположение центра окружности; пока лишь ясно, что этот центр лежит на высоте
равнобедренного , так как стороны 
и 
- касательные к окружности, а потому центр окружности лежит на биссектрисе 
угла между этими касательными.Введем обозначение:
. Проведем радиус 
в точку касания 
, тогда 
тоже равен 
( 
и 
- углы со взаимно-перпендикулярными сторонами). По условию 
. Воспользовавшись формулой 
, получим 
; тогда 
.Из
находим: 
; 
. Далее, 
; 
. 
Это значит, что 
, а потому точки 
и 
должны совпадать, т.е. для дальнейшего решения задачи надо сделать новый (правильный) рисунок.Площадь треугольника
будем искать по формуле 
. Известно, что 
.Таким образом, задача свелась к отысканию длины отрезка
.Воспользуемся тем, что
. Положим 
, тогда 
, и получим уравнение 
, откуда 
. Тогда 
и, следовательно, 
.Ответ:
.Задача3. Найти площадь
с углами 
, зная, что расстояние от произвольной точки 
, взятой внутри треугольника, до его сторон равны соответственно 
, 
и 
.Дано:
, 
.Найти:
. 
Решение: Площадь можно найти по формуле 
, но для этого надо найти 
и . Положим 
. Тогда по теореме синусов 
,откуда находим:
.Итак, задача сводится к отысканию значения
.Для составления уравнения применим метод площадей: выберем в качестве опорного элемента площадь
треугольника 
.С одной стороны,
.С другой стороны,
.Значит,
, откуда находим: 
.Подставив это значение
в первую из отмеченных выше формул для площади 
, получим: 
.Ответ:
.Замечание. Какие же средства используются для составления уравнений в геометрических задачах или, иными словами, какие геометрические факты используются для составления уравнений? Перечислим эти факты:
- теорема Пифагора;
- теорема о биссектрисе треугольника;
- пропорциональность сторон или других линейных элементов в подобных треугольниках;
- метрические соотношения в прямоугольном треугольнике (включая тригонометрические соотношения между сторонами и углами), параллелограмме, окружности;
- различные формулы для вычисления площадей (прежде всего, треугольников);
- теорема синусов, теорема косинусов.
5.2. Решение задач на применение определения синуса, косинуса.
Задача4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная длину ее диагонали
и величину угла между этой диагональю и большим основанием.Решение.
1. Анализ условия задачи. Читая условие задачи, выделяем нужные моменты: а) дана трапеция; б) ее боковые стороны равны; в) длина диагонали ее равна
; г) угол между диагональю и большим основанием равно .Выясняем вопрос задачи: необходимо найти площадь трапеции.