2.
Схематическая запись задачи. Сделаем рисунок и запишем краткую запись.Дано:
- трапеция, , , .Найти:
.3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Запишем формулу для нахождения площади трапеции.
,где
- высота трапеции.Из треугольника
по определению синуса найдем высоту трапеции: ,тогда по теореме Пифагора имеем:
.Так как
равна средней линии трапеции, то .Теперь найдем площадь трапеции:
.6. Проверка решения. Очевидно, что данное решение верно для любых значений
.7. Ответ.
.8. Исследование решения. Каким бы ни были параметры
и , задача всегда имеет единственное решение.Задача5. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне и равна
, острый угол трапеции . Найти площадь трапеции. Дано: - равнобедренная трапеция, , , .Найти:
.Решение: Площадь трапеции:
,где три неизвестных. Найдем их.
Из
: ; из : .Рассмотрим
. ;Тогда,
.Теперь мы можем найти площадь:
.Ответ:
.Задача6. В параллелограмме высоты равны
и , угол между ними . Найти его площадь. Дано: - параллелограмм, , - высоты параллелограмма, - точка пересечения высот, .Найти:
.Решение: Треугольник
- прямоугольный, тогда . Из треугольника найдем: .Тогда по формуле площади параллелограмма:
.Ответ:
Замечание. Зная стороны прямоугольного треугольника, мы можем найти его острые углы. Сначала находим один из синусов этих углов, используя равенства
, . Затем по найденному синусу находим величину этого угла. Второй угол дополняет найденный до .Или решается обратная задача: по острому углу и одной из сторон прямоугольного треугольника найти остальные его элементы. Возможны два случая: 1) даны острый угол и гипотенуза; 2) даны острый угол и катет.
5.3. Решение задач на применение определения тангенса, котангенса.
Задача7. В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного
.1-2. Анализ и схематическая запись задачи. Эта задача содержит такие условия: а) дан прямоугольный треугольник; б) из вершины острого угла проведена медиана; в) из вершины этого же угла проведена биссектриса; в) величина данного угла равна
. И вопрос задачи: найти угол между медианой и биссектрисой. На основе этого сделаем краткую запись и нарисуем чертеж. Дано: - прямоугольный, - биссектриса, - медиана, , , .Найти:
.3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Обозначим искомый угол через
. Тогда из найдем ,с другой стороны из
,отсюда выразим
.Подставляя последнее равенство в первое, найдем:
; ; .6. Проверка решения. По условию задачи на переменные нет ограничений, значит найденная формула выполняется в любом случае.
7. Ответ.
.8. Исследование решения.
Задача8. Высота равнобочной трапеции равна
, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен . Найти среднюю линию трапеции.Дано:
- равнобочная трапеция, , - диагонали, .