«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 7 из 9)
.Рассмотрим треугольник
. По теореме синусов найдем сторону 
: 
.Так как треугольники
и 
подобны, то 
. Из треугольника 
: 
; 
.Ответ: 2.
Задача13. В треугольнике 
известно, что 
и 
. На стороне 
взята точка 
так, что 
. Найти отношение радиуса окружности, описанной около 
, к радиусу окружности, вписанной в 
.Дано:
, , 
, .Найти:
.Решение. Введем вспомогательный параметр
. Тогда 
.Чтобы найти радиус
окружности, описанной около треугольника , вычислим сторону 
по теореме косинусов, а затем воспользуемся теоремой синусов. Имеем: 
, т.е. 
, откуда находим, что 
. По условию 
, значит, 
. По теореме синусов 
, значит, 
, откуда находим 
.Радиус
окружности, вписанной в треугольник 
, найдем по формуле 
, где 
- площадь, 
- полупериметр 
. Уже известно, что 
. Сторону 
найдем из 
по теореме косинусов: 
, откуда 
. Значит, 
. Площадь 
треугольника 
вычислим по формуле Герона: 
.Значит,
.Ответ:
.Задача14. В ромбе
со стороной 
и острым углом 
проведен отрезок 
( 
), который пересекает диагональ 
в точке 
так, что 
. Известно, что 
. Найти длину отрезка 
. 
Дано: - ромб, , 
, 
, 
, 
, .Найти:
.Решение: Положим
; тогда из подобия треугольников 
и 
следует, что 
(поскольку ). Тогда 
. Введем еще одно обозначение: 
- высота ромба 
и одновременно – высота трапеции 
и высота трапеции 
. 
; 
.По условию
, значит, 
, откуда 
. 
Нам нужно найти длину отрезка 
. Сначала найдем длину , для чего воспользуемся «выносным» чертежом. Рассмотрим трапецию 
, в которой 
(напомним, что 
, а 
), 
(напомним, что 
, т.е. 
).