Смекни!
smekni.com

«сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов» (стр. 8 из 9)

Проведем отрезок

, тогда

.

Применим к

теорему косинусов:

;

.

Значит,

.

Так как

, то
.

Ответ:

.

Задача15. Дан остроугольный треугольник

, в котором
;
;
. В каком отношении ортоцентр делит высоту, проведенную из вершины
?

Дано:

,
,
,
,
- высота.

Найти:

.

Решение: Опишем около

окружность, радиус которой обозначим через
(вспомогательный параметр).

Проведем

и учтем, что
, где
- ортоцентр.

Рассмотрим

. Так как
измеряется дугой
,
, а
измеряется половиной дуги
, то
. Тогда
.

По теореме синусов, примененной к

,
, значит,
, и тогда из
получаем:
.

;

.

Итак,

.

Ответ:

.

Замечание. Задача «решить треугольник по некоторым заданным его элементам» может рассматриваться в двух вариантах.

а) Имеется треугольник, и известны некоторые его элементы. Найти остальные его элементы.

б) Заданы некоторые отрезки и углы (или их величины). Найти (построить) треугольник, для которого заданные отрезки и углы являются заданными его элементами.

Теорема синусов позволяет решить треугольник по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу против одной из них.

5.5. Решение задач на применение тождественных преобразований.

Задача16. Около круга радиуса

описан равнобедренный треугольник с углом
. Определите стороны треугольника.

Решение.

1. Анализ условия задачи. Выделим основные данные из условия задачи: а) дан круг радиуса

(пусть его центр находится в точке
); б) вокруг круга описан треугольник; в) данный треугольник равнобедренный, то есть боковые его стороны равны; г) угол, лежащий напротив основания, равен
.

Вопрос задачи: необходимо найти длины сторон треугольника.

2.

Схематическая запись задачи. Сделаем рисунок и запишем краткую запись.

Дано:

,
,
,
.

Найти:

,
.

3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Так как

, то
. Тогда рассмотрим
:
, тогда найдем по теореме синусов:

;

так как

не табличное значение, с помощью тождественных преобразований найдем его значение:

;

.

Тогда по теореме Пифагора:

;

Отсюда

.

Найдем сторону

. Так как
, то
, тогда
.

подобен
, тогда справедливо:

,

.

Так как

и
равны, то
, тогда
;

,

выразим

через
:

,

,

.

6. Проверка решения. Так как решение задачи не зависит от параметров, то правильность решения очевидна.

7. Ответ.

,
.

8. Исследование решения. Решение единственно, так как нет параметров, в зависимости от которых менялось бы решение.

5.6. Решение практических задач с использованием тригонометрии.