Работа “Моделирование кинетики роста в условиях химиотерапии" Дисциплина: “Моделирование в медицине" Работу (стр. 1 из 3)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТУ)

Факультет: Кибернетики

Кафедра: Биомедицинская Электроника

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Моделирование кинетики роста в условиях химиотерапии”

Дисциплина: “Моделирование в медицине”

Работу выполнил студент группы КМ-1-xx:

ФИО _______________________

Проверила преподаватель:

Бабушкина Нина Александровна ______________________

МОСКВА 200х

Содержание

Титульный лист…………………………………………………………….…………1

Содержание………………………………………………………………….…….......2

Введение…………………………………………………………………….…………3

1. Задание…………..…………………………………………………………….…….3

2. Аппроксимация исходных данных………………………………………….……..3

2.1. Выбор функции…………………………………………………………....3

2.2. Аппроксимация в MathCAD………………………………………….…..4

2.3. Выбор оптимальной функции…………………………………………....4

2.4. Метод наименьших квадратов……………………………………………5

2.5. Расчёт коэффициентов с помощью МНК…………………………….....7

2.6. Итерационный метод наискорейшего спуска…………………………...8

2.7. Программа расчёта коэффициентов методом наискорейшего спуска…8

2.8. Расчёт коэффициентов методом наискорейшего спуска…………..…..10

2.9. Результаты……………………………………………………………..….12

3. Расчёт биологических параметров………………………………………………...12

3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил…….…...12

3.2. Дозовая зависимость…………………………………………………..….12

3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения……………......13

Заключение…………………………………………………………………………….16

Список литературы………………………………………………………………..…..17

Введение

Метод моделиpования в медицине является сpедством, позволяющим устанавливать все более глубокие и сложные взаимосвязи между теоpией и опытом. В последнее столетие экспеpиментальный метод в медицине начал наталкиваться на опpеделенные гpаницы, и выяснилось, что целый pяд исследований невозможен без моделиpования. Если остановиться на некотоpых пpимеpах огpаничений области пpименения экспеpимента в медицине, то они будут в основном следующими:

- вмешательство в биологические системы иногда имеет такой хаpактеp, что невозможно установить пpичины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по дpугим пpичинам);

- некотоpые теоpетически возможные экспеpименты неосуществимы вследствие низкого уpоня pазвития экспеpиментальной техники;

- большую группу экспериментов, связанных с экспериментированием на человеке, следует отклонить по моpально-этическим сообpажениям.

Но моделиpование находит шиpокое пpименение в области медицины не только из-за того, что может заменить экспеpимент. Оно имеет большое самостоятельное значение, котоpое выpажается в целом pяде пpеимуществ:

- с помощью метода моделиpования на одном комплексе данных можно pазpаботать целый pяд pазличных моделей, по-pазному интеpпpетиpовать исследуемое явление, и выбpать наиболее плодотвоpную из них для теоpетического истолкования.

- в пpоцессе постpоения модели можно сделать pазличные дополнения к исследуемой гипотезе и получить ее упpощение.

- в случае сложных математических моделей можно пpименять ЭВМ.

- откpывается возможность пpоведения модельных экспеpиментов (модельные экспеpименты на подопытных животных) .

Все это ясно показывает, что моделиpование выполняет в медицине самостоятельные функции и становится все более необходимой ступенью в пpоцессе создания теоpии, а также позволяет проводить прогноз развития заболеваний, действия терапии.

1. Задание

Смоделировать развитие опухоли. Рассчитать время жизни при введении химиотерапии в дозе D = 0.2 МПД. Количество введений – 10 раз с интервалом

суток

Исходные данные: N(t) – объём опухоли, t – дни измерения размера опухоли.

2. Аппроксимация исходных данных

2.1. Выбор функции

Визуальный анализ кинетики роста опухоли позволяет предположить, что экспериментальные данные можно аппроксимировать экспоненциальной или степенной функцией.

Экспоненциальная функция:

(2.1)

Степенная функция:

(2.2)

2.2. Аппроксимация в MathCAD

Подбор коэффициентов производился в пакете Mathcad 11 Pro с помощью функции minimize(), реализующая минимизацию суммы квадратов отклонений (СКО) численным итерационным методом градиентного спуска.

Экспоненциальная:

Степенная функция:

Рис. 2.1. Аппроксимация исходных данных экспоненциальной и степенной функциями

Чтобы выбрать функцию с большей корреляцией с исходными данными, необходимо просчитать сумму квадратов отклонений (СКО) между исходными точками и аппроксимированными аналитической функцией.

(2.5)

Экспонциальная функция:

(2.6)

при

Степенная функция:

(2.7)

при

Т.к. СКО₂ < СКО₁, степенная функция лучше аппроксимирует исходные данные.

Функция

обеспечивает наилучшую аппроксимацию исходных данных.

2.4. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим задачу оценки коэффициентов парной линейной регрессии. Предположим, что связь между х и у линейна: у = a+bх. Здесь имеется в виду связь между всеми возможными значениями величин х и у, то есть для генеральной совокупности. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в нашем уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин x_i и y_i приобретет вид у_i=a+bх_i+є_i,. Здесь є_i. - случайные ошибки (отклонения, возмущения). Задача состоит в следующем: по имеющимся данным наблюдений {x_i}, {у_i} оценить значения параметров a и b, обеспечивающие минимум величины

. Если бы были известны точные значения отклонений є_i, то можно было бы (в случае правильности предполагаемой линейной формулы) рассчитать значения параметров a и b. Однако значения случайных отклонений в выборке неизвестны, и по наблюдениям x_i и у_i можно получить оценки параметров a и b, которые сами являются случайными величинами, поскольку соответствуют случайной выборке. Пусть а - оценка параметра a, b - оценка параметра b. Тогда оцененное уравнение регрессии будет иметь вид:

y_i=а+bx_i+е_i, (2.8)

где е_i - наблюдаемые значения ошибок є_i.

Для оценки параметров a и b воспользуемся МНК, который минимизирует СКО фактических значений у_i от расчетных. Минимум ищется по переменным а и b.

Для того, чтобы полученные МНК оценки а и b обладали желательными свойствами, сделаем следующие предпосылки об отклонениях є_i:

1. величина є_i является случайной переменной;

2. математическое ожидание є_i равно нулю: М (є_i) = 0;

3. дисперсия є постоянна: D(є_i) = D(є_i) = s² для всех i, j;

4. значения є_i независимы между собой. Откуда вытекает, в частности, что

(2.9)

Известно, что, если условия (1 - 4) выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению: М(а) =a; М(b)=b. Это вытекает из того, что М(є_i) = 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремится к нулю:

; . Иначе говоря, если п достаточно велико, то практически наверняка а близко к a, а b близко к b: надежность оценки при увеличении выборки растет.

3. Оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра, линейными относительно величин у_i . [1]

Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения величин є_i, тем не менее обычно предполагается, что они распределены нормально N(0;y²). Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но среди всех несмещенных оценок.